Die Geschichte der Finanzmathematik

Erstfassung 29. Oktober 2026, zuletzt geändert am 30. Oktober 2026 · Andreas Stockter

Finanzmathematik ist die Mathematik des Geldes über die Zeit und unter Ungewissheit. Sie fragt: Was ist eine Zahlung wert, die erst in zehn Jahren kommt? Was ist sie wert, wenn nicht sicher ist, dass sie kommt? Und was kostet das Recht, sie zu bekommen, ohne sie nehmen zu müssen? Aus diesen drei Fragen sind in viertausend Jahren die Rechenverfahren entstanden, mit denen Kaufleute Zinsen berechnen, Versicherungen ihre Preise festsetzen, Sparer ihr Geld verteilen, Banken ihre möglichen Verluste messen und zuletzt Computerprogramme selbst kaufen und verkaufen. Dieser Text erzählt die Geschichte entlang der Werkzeuge: von einer Tontafel, die ausrechnet, wann sich geliehenes Silber verdoppelt, über eine Liste der Todesfälle in Breslau und die Doktorarbeit eines Pariser Mathematikers im Jahr 1900 bis zu einer Formel von 1973, einer Zahl, mit der Banken seit 1994 ihr Risiko messen, und den Programmen, für die die Bank of England, die das britische Geld ausgibt, 2026 einen Notschalter erwägt. Sie ist auch die Geschichte eines wiederkehrenden Irrtums: Jedes Werkzeug, das ein Risiko berechenbar machte, verführte dazu, mehr davon einzugehen, bis der Markt zeigte, was die Rechnung nicht enthielt.

Wie die Geschichte der KI, die Geschichte der Mathematik hinter der KI, die Geschichte der Softwareentwicklung, die Geschichte des Internets, die Geschichte von Open Source, die Geschichte des Venture Capitals, die Geschichte des Vibe-Coding, die Geschichte des E-Commerce und die Geschichte des Projektmanagements folgt dieser Text einer Kette: Jede Epoche löst einen Engpass, den die vorherige offen gelassen hat, und schafft dabei den nächsten. Erst fehlte eine Rechnung für den Preis der Zeit, dann eine für Zahlungen, die vom Zufall abhängen, dann eine Beschreibung des Zufalls, mit dem sich Preise am Markt bewegen, dann eine Antwort auf die Frage, welches Risiko welchen Lohn verdient, dann ein Preis für das Recht, später zu einem festen Preis zu kaufen, dann ein Maß für das, was eine Bank verlieren kann, dann die Fähigkeit, aus mehr Daten zu lernen, als ein Mensch lesen kann, und zuletzt die Antwort auf die Frage, was geschieht, wenn die Rechenverfahren die Preise bewegen, die sie beschreiben. Abbildung 11 am Ende zeigt die Kette als Bild.

So liest man diesen Text. Vorausgesetzt werden nur die vier Grundrechenarten: Zusammenzählen, Abziehen, Malnehmen und Teilen. Alles Weitere, vom Prozent bis zur Wahrscheinlichkeit, wird an der Stelle erklärt, an der es zum ersten Mal gebraucht wird. Jeder Fachbegriff wird dort fett gesetzt, wo er erklärt wird, und erst danach verwendet; ein Glossar listet alle Begriffe alphabetisch. Damit die Begriffe greifbar werden, zeigt der Text bei vielen von ihnen an einem Beispiel aus dem Alltag, wo sie vorkommen, beim Sparen, bei einem Kredit oder bei einer Versicherung; die Zahlen dieser Beispiele sind erfunden und so gewählt, dass man sie leicht nachrechnen kann. Grüne Kästen „Rechenweg“ rechnen ein Beispiel aus dem Text Schritt für Schritt vor. Blaue Kästen „Zum Nachrechnen“ am Ende der Abschnitte fassen die Rechenregeln des Abschnitts als Formeln zusammen, als kurze Rechenvorschriften, in denen Buchstaben für Zahlen stehen; der erste von ihnen erklärt, wie man sie liest. Dazu kommen Herleitungen, durchgerechnete Beispiele und Aufgaben, deren Lösungen sich aufklappen lassen. Unter den blauen Kästen stehen violette Rechner: Man klappt sie auf, ändert die Zahlen und sieht Ergebnis und Rechenweg sofort; voreingestellt sind die Zahlen eines Rechenwegs oder Beispiels, nicht die der Aufgaben. Einige Abbildungen lassen sich mit Knöpfen und Schiebern bedienen, und Absätze „Selbst ausprobieren“ zeigen, wie man ein Ergebnis mit einer Tabellenkalkulation oder echten Daten nachstellt. Wer nur die Geschichte lesen will, kann die blauen und violetten Kästen überspringen. Die Formelsammlung am Ende stellt alle Formeln mit einheitlichen Zeichen zusammen.

Inhalt: 1 Zins und Zeit · 2 Wahrscheinlichkeit und Rente · 3 Zufall an der Börse · 4 Portfolio und Preis des Risikos · 5 Die Formel · 6 Risiko, Kredit, Krise · 7 Faktoren, Maschinen, Daten · 8 Sprachmodelle und Agenten · Kette · Zeitleiste · Formelsammlung · Weiterlesen · Quellen

1. Zins und Zeit: Tontafeln, Wucher und das Rechenbuch (bis 1600)

Die ersten Zinsrechnungen: Babylon

Das Problem. Wer Saatgut im Herbst leiht und im Sommer zurückgibt, gibt mehr zurück, als er bekommen hat, weil der Verleiher so lange auf sein Korn verzichtet hat und weil die Ernte ausfallen kann. Ein solches Leihen auf Zeit heißt Darlehen oder Kredit; wer leiht, ist der Schuldner, wer verleiht, der Gläubiger. Der Zins ist der Preis für die Zeit, die zwischen Leihen und Zurückgeben vergeht, und er ist so alt wie die Schrift. Leiht jemand einem Freund 500 Euro für ein gebrauchtes Fahrrad, ist der Freund der Schuldner und der Verleiher der Gläubiger, und kommen nach einem Jahr 520 Euro zurück, sind die 20 Euro der Zins; beim Ratenkredit für ein Auto ist die Bank die Gläubigerin. Die ältesten Rechnungen, die wir kennen, sind Schuldurkunden aus Mesopotamien, und das Gesetz Hammurapis aus dem 18. Jahrhundert v. Chr. kannte feste Sätze: ein Fünftel im Jahr für Silber, ein Drittel für Gerste, in Übereinstimmung mit den Zinsen, die in den Verträgen der Zeit üblich waren.¹ Ein Fünftel Zins heißt: Wer 5 Einheiten Silber leiht, gibt nach einem Jahr 6 zurück, die 5 und dazu ein Fünftel davon, nämlich 1.

Das Prozent. Ein Fünftel ist 1 geteilt durch 5, als Kommazahl 0,2; die Stellen hinter dem Komma zählen Zehntel, Hundertstel und Tausendstel, 0,2 sind also zwei Zehntel und 0,05 fünf Hundertstel. Zinsen gibt man heute meist in Prozent an, wörtlich „von hundert“: 1 Prozent, geschrieben 1 %, ist ein Hundertstel, also 0,01, und ein Fünftel sind 20 Prozent, denn 20 Hundertstel sind 0,2. Einen Prozentsatz von einem Betrag rechnet man aus, indem man malnimmt: 20 Prozent von 5 sind 0,2 · 5 = 1, 5 Prozent von 300 sind 0,05 · 300 = 15. Allgemeiner als der Zins ist die Rendite einer Anlage, also von Geld, das man einsetzt, damit es mehr wird: der Ertrag in Prozent des Einsatzes. Wer 100 einsetzt und nach einem Jahr 105 zurückbekommt, hat 5 von 100 gewonnen, eine Rendite von 5 Prozent, und der Zins ist die Rendite eines Darlehens. Die 20 Euro Zins auf 500 Euro aus dem Fahrradbeispiel sind 20 / 500 = 0,04, also eine Rendite von 4 Prozent.

Die Tafel. Steht eine Schuld länger als ein Jahr, gibt es zwei Arten, den Zins zu rechnen. Beim einfachen Zins zahlt man jedes Jahr nur auf den geliehenen Betrag: 20 Prozent auf 5 sind jedes Jahr 1, nach drei Jahren schuldet man 5 + 3 = 8. Beim Zinseszins wird der Zins am Ende jedes Zeitabschnitts, jeder Periode, zur Schuld geschlagen und in der nächsten Periode mitverzinst: Aus 5 werden nach einem Jahr 6, nach zwei Jahren 6 plus ein Fünftel von 6, also 7,2, nach drei Jahren 8,64. Im Alltag: Wer 10.000 Euro für fünf Jahre zu 3 Prozent als Festgeld anlegt und sich die Zinsen jedes Jahr aufs Girokonto zahlen lässt, bekommt einfachen Zins, jedes Jahr 300 Euro, zusammen 1.500 Euro. Bleiben die Zinsen stehen und werden mitverzinst, wächst das Geld auf 11.592,74 Euro, 92,74 Euro mehr; die Periode ist hier ein Jahr, bei monatlicher Gutschrift wäre sie ein Monat. Jedes Jahr wird die Schuld also mit derselben Zahl malgenommen, hier mit 1 + 0,2 = 1,2; diese Zahl heißt Zinsfaktor. Bei diesem Festgeld ist der Zinsfaktor 1,03: Aus 10.000 Euro werden nach einem Jahr 10.300 Euro, nach zwei Jahren 10.300 · 1,03 = 10.609 Euro. Dass Zins auf Zins anfällt, war den Schreibern Babylons vertraut, und sie konnten damit rechnen: Eine altbabylonische Tafel im Louvre, AO 6770, fragt, wie lange ein Betrag bei einem Fünftel Zins im Jahr braucht, um sich zu verdoppeln. Nach drei Jahren ist er dreimal mit 1,2 malgenommen worden: 1,2 · 1,2 · 1,2 = 1,728. Ein solches wiederholtes Malnehmen mit derselben Zahl ist eine Potenz, geschrieben 1,2³ und gesprochen „1,2 hoch 3“; 1,2 heißt die Basis, 3 die Hochzahl. Der Schreiber kennt die Potenzen von 1,2 und sieht, dass die Antwort zwischen drei und vier Jahren liegt: Nach drei Jahren ist aus 1 erst 1,728 geworden, nach vier schon 2,0736. Für die Zeit dazwischen hilft er sich mit einer Näherung. Er kennt den Betrag nur an zwei Stellen, nach drei und nach vier Jahren, und tut so, als wüchse er dazwischen gleichmäßig von 1,728 auf 2,0736, in jedem Monat um denselben Teil des Zuwachses. Nach einem halben Jahr wäre dann die Hälfte des Zuwachses dazugekommen, nach einem Viertel Jahr ein Viertel. So schätzt man auch im Alltag: Wer um 15 Uhr bei Kilometer 100 ist und um 16 Uhr bei Kilometer 200, war um halb vier vermutlich ungefähr bei Kilometer 150. Trägt man die beiden bekannten Werte als Punkte in ein Bild ein, die Zeit nach rechts und den Betrag nach oben, verbindet diese Annahme die Punkte mit einer geraden Linie, und man liest auf der Linie ab, wann sie die Höhe 2 erreicht. Ein solches Schätzen eines Werts zwischen zwei bekannten Werten entlang einer geraden Linie heißt heute lineare Interpolation. Seine Antwort lautet vier Jahre weniger gut zweieinhalb Monate, rund 3,79 Jahre; den Rechenweg zeigt der Kasten unter diesem Absatz.² Der Zinseszins ist damit das älteste exponentielle Wachstum, mit dem Menschen gerechnet haben, lange bevor jemand das Wort dafür hatte: Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeiten immer mit derselben Zahl malgenommen wird. Das gilt auch für Schulden: Bleiben 2.000 Euro auf einer Kreditkarte zu 15 Prozent Zins fünf Jahre lang offen, werden daraus 2.000 · 1,15⁵ = 4.022,71 Euro, mehr als das Doppelte.

Die Umkehrung. Die Frage der Tafel dreht den Zinseszins um. Die Potenz rechnet vorwärts, was aus einem Betrag wird: 1,2³ = 1,728. Der Logarithmus rechnet rückwärts und nennt die Hochzahl, mit der man die Basis potenzieren, sie also so oft mit sich selbst malnehmen muss, um ein gewünschtes Vielfaches zu erhalten: Der Logarithmus von 1,728 zur Basis 1,2 ist 3, und der Logarithmus von 2 zur Basis 1,2 ist 3,8, denn 1,2 hoch 3,8 ergibt 2. Das ist die genaue Antwort auf die Frage der Tafel. Eine Hochzahl mit Komma füllt die Lücke zwischen den ganzen Jahren: 1,2 hoch 0,5 etwa ist die Zahl, die mit sich selbst malgenommen 1,2 ergibt, die Wurzel aus 1,2, geschrieben √1,2 = 1,0954, und 1,2 hoch 3,8 ist 1,2³ mal 1,2 hoch 0,8. Die nützlichste Eigenschaft des Logarithmus ist, dass er aus Malnehmen Zusammenzählen macht: Die Zinsfaktoren aufeinanderfolgender Jahre werden malgenommen, ihre Logarithmen zusammengezählt, und jede Verdopplung ist für ihn ein gleich großer Schritt, ob von 1 auf 2 oder von 1.000 auf 2.000. Trägt man Zahlen auf einer Linie so ein, dass jede Verzehnfachung denselben Abstand bekommt, auf einer logarithmischen Skala, liegen 1, 10, 100 und 1.000 in gleichen Abständen, und ein Betrag, der mit festem Zins wächst, steigt darauf in gleichen Schritten, jedes Jahr um dasselbe Stück (Abbildung 9 in Abschnitt 7 zeigt eine solche Skala). Tafeln, die zu den Potenzen einer Zahl die Hochzahl nennen, kannten schon babylonische Schreiber, etwa auf der Tafel MLC 2078; sie helfen aber nur, wenn das gesuchte Vielfache selbst eine der Potenzen ist, und die 2 ist keine Potenz von 1,2. Logarithmen für beliebige Zahlen tabellierte erst John Napier, der seine Tafeln 1614 in Edinburgh veröffentlichte, mehr als dreitausend Jahre nach der Tafel aus dem Louvre, um den Rechnern, wie er im Vorwort schrieb, die mühsamen Multiplikationen und Divisionen großer Zahlen zu ersparen.³

Der Rechner unter diesem Absatz geht die Schritte der Tafel AO 6770 durch und rechnet zum Vergleich mit dem Logarithmus wie im Kasten „Rechenweg: der Logarithmus von 2 zur Basis 1,2“. Vorbelegt ist das Beispiel der Tafel; mit anderen Zinssätzen und Vielfachen zeigt er, wie nah die lineare Interpolation an der genauen Lösung liegt.

Zinsverbot und Fibonaccis Rechenbuch

Das Verbot. Das Mittelalter kannte den Zins und verbot ihn. Wucher hieß zunächst jeder Zins, nicht nur der überhöhte, und das Dritte Laterankonzil, eine Versammlung der Bischöfe in Rom, schloss 1179 Wucherer von den Sakramenten, den heiligen Handlungen der Kirche, und vom christlichen Begräbnis aus; die Theologie begründete das mit Aristoteles, nach dem Geld unfruchtbar sei, und mit dem Gedanken, dass die Zeit Gott gehöre.⁴ Die Kaufleute fanden Wege darum herum. Der Wechsel, ein schriftliches Zahlungsversprechen, das in einer anderen Stadt und in einer anderen Währung eingelöst wurde, versteckte den Zins im Wechselkurs, dem Preis, zu dem man die eine Währung gegen die andere tauscht. Versteckte Zinsen gibt es bis heute, etwa im Skonto, einem Abzug für schnelles Zahlen: Darf ein Handwerksbetrieb eine Rechnung über 1.000 Euro nach 10 Tagen mit 2 Prozent Abzug oder nach 30 Tagen voll bezahlen, kosten ihn die 20 Tage Aufschub 20 Euro auf 980, umgerechnet auf ein Jahr mit Zinseszins rund 45 Prozent. Die stille Beteiligung machte aus dem Gläubiger einen Teilhaber, der statt eines Zinses einen Anteil am Gewinn eines Geschäfts bekam. Und beim Rentenkauf lieh man kein Geld, sondern zahlte einen Betrag für das Recht auf regelmäßige Zahlungen; eine Folge von Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten heißt Zahlungsstrom, eine Folge gleicher Zahlungen in festen Abständen Rente. Gemeint ist damit nicht nur die Altersrente: Im Fach ist jede Folge gleicher Zahlungen eine Rente, auch die monatliche Rate für einen Autokredit, eine Sparrate oder eine Miete. Ein Zahlungsstrom ist etwa ein Handyvertrag mit 99 Euro Anzahlung und danach 24 Monatsraten zu 30 Euro, zusammen 819 Euro. Das Fünfte Laterankonzil erlaubte 1515 den Montes Pietatis, den kirchlichen Pfandleihhäusern, die Geld gegen ein Pfand verliehen, eine Gebühr für ihre Kosten, und am 7. November 1545 schrieb der Genfer Reformator Johannes Calvin in einem Brief, dass nur das „beißende“ Darlehen an den Bedürftigen verboten sei, nicht der Zins vom Kaufmann, der mit dem Geld Gewinn macht.⁵ Mit dieser Unterscheidung war der Zins für die Neuzeit freigegeben, und die Frage war nicht mehr, ob man ihn rechnen durfte, sondern wie.

Das Rechenbuch. Wie, das hatte ein Kaufmannssohn aus Pisa schon dreihundert Jahre früher aufgeschrieben. Leonardo Fibonacci hatte in Nordafrika die indisch-arabischen Ziffern gelernt, die Ziffern 0 bis 9, mit denen wir heute schreiben und die das schriftliche Rechnen viel leichter machen als die römischen Zahlzeichen. 1202 veröffentlichte er den Liber Abaci, ein Rechenbuch für Händler, in dem neben der berühmten Aufgabe, wie schnell sich Kaninchen vermehren, seitenlang Zinsaufgaben stehen: was ein Darlehen nach so vielen Jahren schuldet, was eine Reihe von Zahlungen heute wert ist, welcher von zwei Verträgen besser ist. Der Wirtschaftshistoriker William Goetzmann hat gezeigt, dass Fibonacci darin als Erster ausrechnet, was man heute Barwert nennt, den heutigen Wert künftiger Zahlungen, und dass er zwei Zahlungsströme vergleicht, indem er beide auf denselben Zeitpunkt zurückrechnet.⁶ Zurückrechnen heißt, den Zinseszins umzukehren: Statt mit dem Zinsfaktor malzunehmen, teilt man durch ihn. 120 Euro, die in einem Jahr fällig sind, sind bei 20 Prozent Zins heute 120 / 1,2 = 100 Euro wert, denn 100 Euro wüchsen in einem Jahr auf 120; 144 Euro, die in zwei Jahren fällig sind, sind 144 / 1,2 / 1,2 = 100 Euro wert. Ein Arbeitgeber bietet 5.000 Euro Bonus heute oder 5.300 Euro in zwei Jahren an. Bei 3 Prozent Zins sind die 5.300 Euro heute 5.300 / 1,03 / 1,03 = 4.995,76 Euro wert, knapp weniger als 5.000: Man nimmt das Geld besser gleich. Diese Abzinsung ist die Grundoperation des Fachs, weil sie Zahlungen vergleichbar macht, die zu verschiedenen Zeiten fällig sind: Erst wenn alle auf denselben Tag zurückgerechnet sind, kann man sie zusammenzählen und gegeneinander abwägen. Umgekehrt sagt die Abzinsung, wie viel man heute zurücklegen muss: Braucht man in fünf Jahren 10.000 Euro für ein Auto, reichen bei 3 Prozent heute 10.000 / 1,03⁵ = 8.626,09 Euro. Jede Anleihe, ein Schuldschein, den man an andere weiterverkaufen kann, mit festen Zinszahlungen und der Rückzahlung am Ende seiner Laufzeit, jedes Unternehmen, jede Fabrik wird bis heute bewertet, indem man die künftigen Zahlungen auf heute abzinst und zusammenzählt. Wer etwa einer Stadt 1.000 Euro für fünf Jahre leiht, bekommt jedes Jahr 30 Euro Zins und am Ende der Laufzeit die 1.000 Euro zurück; seinen Schuldschein kann er vorher an jemand anderen verkaufen. Dass die Abzinsung in einem Kaufmannsbuch steht und nicht in einer gelehrten Abhandlung, sagt, woher das Fach kommt.

Der Anlass. Gebraucht wurde die Rechnung, weil um 1200 der Handel im Mittelmeer aufblühte. Geld, das über weite Strecken geschickt wurde, kam erst nach der Reise an, und Wechsel wurden deshalb mit einem Abschlag gehandelt, der den Zins für die Wartezeit ausglich. Auch die Städte rechneten mit der Zeit: Pisa verschaffte sich im 13. Jahrhundert Geld, indem es Rechte auf künftige Steuer- und Monopoleinnahmen gegen eine Summe verkaufte, die sofort gezahlt wurde, und ob sich ein solcher Tausch lohnt, ist eine Frage nach dem Barwert. Ebenso rechneten Private: In Pistoia, ebenfalls in der Toskana, wurden schon von 1201 bis 1210 ewige Renten in Weizen verkauft, das Recht, für alle Zeit jedes Jahr ein Staio Weizen zu bekommen, ein altes Getreidemaß. Ein solches Recht kostete im Mittel 2,80 Lire, während ein Staio Weizen für ¼ Lira zu haben war. Der Käufer zahlte also das 2,80 / 0,25 = 11,2-Fache einer Jahreslieferung und bekam jedes Jahr 0,25 / 2,80 = 8,9 Prozent seines Einsatzes in Weizen. Goetzmann fragt, wie Käufer und Verkäufer den Preis ohne eine Rechnung zur Abzinsung bestimmt haben; Abschnitt 2 zeigt an der ewigen Rente, dass ihr Barwert die jährliche Zahlung geteilt durch den Zins ist, hier 0,25 / 0,0893 = 2,80.⁷ Goetzmann deutet Fibonaccis Zinsaufgaben als Antwort auf diese Handelsrevolution. Die anspruchsvollste von ihnen handelt von einem Soldaten, dem der König für sein Lehen 300 Bezanten im Jahr zahlt, in vier Raten zu 75 am Ende jedes Vierteljahrs; Bezanten nannte man im Westen Goldmünzen aus dem Osten, nach Byzanz. Dann ändert der König den Vertrag und zahlt die 300 auf einmal am Ende des Jahres. Der Soldat kann sein Geld so anlegen, dass aus 100 Bezanten in jedem Monat 2 mehr werden. Was hat er durch die Änderung verloren? Fibonacci rechnet jede Zahlung auf den Anfang des Jahres zurück und zeigt damit, dass zwei Verträge über dieselbe Summe verschieden viel wert sind, allein weil das Geld zu verschiedenen Zeiten kommt; den Rechenweg zeigt der Kasten unter diesem Absatz.⁶

Rente, Murabaha und doppelte Buchführung

Die zwei Formen der Rente. Eine Rente aus gleichen Raten kann am Ende oder am Anfang jeder Periode gezahlt werden. Kommt jede Rate am Ende, wie die Zinsen eines Darlehens, die erst fällig werden, wenn das Jahr vorbei ist, heißt die Rente nachschüssig; kommt sie am Anfang, wie eine Miete, die man im Voraus überweist, heißt sie vorschüssig. An jede Rente kann man zwei Fragen stellen. Was ist sie heute wert? Das ist ihr Barwert, die Summe aller abgezinsten Raten. Und was ist sie am Ende der Laufzeit wert, wenn jede Rate bis dahin mit Zinseszins weiterwächst, wie bei einem Sparplan? Das ist ihr Endwert. Ein Gehalt, das am Monatsende kommt, ist nachschüssig; eine Autoversicherung, die man im Januar für das ganze Jahr bezahlt, vorschüssig. Spart man zehn Jahre lang am Ende jedes Monats 100 Euro zu 3 Prozent im Jahr, also 0,25 Prozent im Monat, ist der Endwert 13.974,14 Euro, bei 12.000 Euro, die man eingezahlt hat. Eine vorschüssige Rate kommt eine Periode früher als die nachschüssige und trägt deshalb eine Periode länger Zins: Barwert und Endwert einer vorschüssigen Rente sind genau einen Zinsfaktor größer als die der nachschüssigen. Der Kasten unter diesem Absatz rechnet beide Formen durch.

Das andere Verbot. Das Christentum lockerte sein Zinsverbot über die Jahrhunderte, der Islam hält an seinem bis heute fest. Der Koran sagt in Sure 2, Vers 275, Gott habe den Handel erlaubt und den Riba verboten, wörtlich den Zuwachs, nach der herrschenden Auslegung jeden im Voraus festgelegten Zins auf ein Darlehen.⁸ Banken, die ohne Zins arbeiten, entstanden erst im 20. Jahrhundert. Als erste gilt die Sparkasse, die der Ökonom Ahmad al-Najjar 1963 im ägyptischen Dorf Mit Ghamr nach dem Vorbild westdeutscher Sparkassen gründete: Sie zahlte keinen Zins, sondern beteiligte die Sparer am Gewinn, und stellte 1967 den Betrieb ein. 1975 folgte die Dubai Islamic Bank, nach eigener Angabe die erste islamische Geschäftsbank.⁹ Eines der meistgenutzten Werkzeuge dieser Banken ist die Murabaha, ein Kauf mit offengelegtem Aufschlag: Die Bank kauft die Ware, die der Kunde braucht, und verkauft sie ihm zu einem höheren Preis, den er später oder in Raten bezahlt. Der Aufschlag wird oft an den Zinsen gemessen, die gewöhnliche Banken verlangen; der pakistanische Gelehrte Muhammad Taqi Usmani nannte das nicht wünschenswert, aber erlaubt, weil der Vertrag ein Kauf bleibt (Kasten unten).¹⁰ Größere Summen leihen sich Staaten und Firmen über Sukuk, Zertifikate, die statt einer Forderung einen Anteil an einem Vermögenswert verbriefen, etwa an einem Gebäude, dessen Miete die Zahlungen trägt. Als Usmani, Vorsitzender des Scharia-Rats der AAOIFI, der Organisation, die Regeln für die islamische Finanzwirtschaft aufstellt, im November 2007 sagte, rund 85 Prozent der Sukuk seien nicht mit dem islamischen Recht vereinbar, weil der Ausgeber zusagt, sie am Ende zum ursprünglichen Betrag zurückzukaufen, und sie damit zu verkleideten Anleihen macht, beschloss die AAOIFI am 13. und 14. Februar 2008, dass Sukuk echtes Eigentum an Vermögenswerten verbriefen müssen.¹¹ 2025 verwalteten islamische Banken, Versicherungen und Fonds, gemeinsame Kassen, in denen das Geld vieler Anleger zusammen angelegt wird, nach dem Islamic Financial Services Board, der Vereinigung ihrer Aufsichtsbehörden, rund 4,4 Billionen Dollar.¹²

Die Bücher. Rechnen setzt voraus, dass man weiß, was man hat. Luca Pacioli, Franziskaner und Mathematiklehrer, druckte 1494 in Venedig die Summa de arithmetica, ein Lehrbuch der gesamten Rechenkunst. Ein Abschnitt darin, „Particularis de computis et scripturis“, beschreibt als erstes gedrucktes Buch die doppelte Buchführung; der Kaufmann Benedetto Cotrugli hatte sie schon 1458 in einer Handschrift erklärt, die erst 1573 gedruckt wurde.¹³ Ein Konto ist eine Liste, auf der man alle Zugänge und Abgänge einer Sache aufschreibt, etwa der Kasse, der Waren oder der Schulden eines Kunden. Bei der doppelten Buchführung wird jeder Vorgang zweimal aufgeschrieben: Verkauft ein Händler Tuch für 10 Dukaten gegen bar, steht die Zahl einmal auf dem Konto der Kasse als Zugang und einmal auf dem Konto der Waren als Abgang. Dafür hat jedes Konto zwei Spalten, links das Soll und rechts das Haben. Auf den Konten für das, was man besitzt, wie Kasse und Waren, steht ein Zugang im Soll und ein Abgang im Haben. Der Verkauf erscheint also zweimal mit 10 Dukaten: im Soll der Kasse und im Haben der Waren. Weil jede Zahl zweimal vorkommt, einmal im Soll und einmal im Haben, müssen die Summen aller Soll-Einträge und aller Haben-Einträge gleich sein, und jeder Schreib- oder Rechenfehler wird sichtbar. Auch ein Haushaltsbuch lässt sich so führen: Kauft man ein Fahrrad für 500 Euro vom Girokonto, steht der Betrag einmal als Abgang beim Girokonto und einmal als Zugang beim Fahrrad; das Vermögen hat sich nicht verändert, nur seine Form. Pacioli nannte sie die Methode von Venedig und erhob keinen Anspruch, sie erfunden zu haben; die Kaufleute benutzten sie seit dem Ende des 13. Jahrhunderts. Für die Finanzmathematik ist sie die Voraussetzung: Erst wenn Vermögen, Schulden und Gewinn zu jedem Zeitpunkt eine Zahl haben, kann man fragen, wie sich die Zahl über die Zeit verhält.

Tabellen und Schaubild

Die Tabellen. Das Rechnen mit Zinseszins war mühsam, solange jede Potenz von Hand gebildet werden musste, und die großen Handelshäuser hielten ihre Tabellen geheim. Jean Trenchant druckte 1558 ein Rechenbuch mit Zinsrechnungen, und 1582 veröffentlichte Simon Stevin aus Brügge, Buchhalter und später Lehrer des Prinzen Moritz von Oranien, beim Drucker Plantin in Antwerpen die Tafelen van Interest: die erste gedruckte, systematische Darstellung der Rechnung mit einfachem Zins und mit Zinseszins, mit fertigen Tabellen, in denen jeder nachschlagen konnte, was ein Gulden, der nach so vielen Jahren fällig ist, bei so viel Prozent heute wert ist.¹⁴ Eine Zinstabelle macht aus einer Rechnung einen Blick: Mit ihr konnte ein einfacher Schreiber im Büro eines Kaufmanns bewerten, wofür zuvor ein Rechenmeister nötig war, ein Mann, der vom Rechnen und vom Unterricht im Rechnen lebte. Stevin, der im selben Jahrzehnt die Dezimalbrüche einführte, die Kommazahlen, mit denen wir heute rechnen, hat damit das Fach für alle geöffnet, und in den Niederlanden folgten bald weitere Bücher mit Zinstafeln.

Das Schaubild. Abbildung 1 zeigt den Unterschied zwischen einfachem Zins und Zinseszins als Schaubild. Ein solches Bild liest man so: Nach rechts laufen die Jahre, nach oben der Wert des Betrags; jede Linie verbindet die Werte, die ein Betrag Jahr für Jahr hat, und je steiler sie ansteigt, desto schneller wächst er. Beim einfachen Zins kommt jedes Jahr dasselbe hinzu, und die Linie ist gerade. Beim Zinseszins kommt jedes Jahr mehr hinzu als im Jahr davor, und die Linie biegt sich immer steiler nach oben.

Nachrechnen und üben

Selbst ausprobieren. Die babylonische Aufgabe lässt sich in jeder Tabellenkalkulation nachrechnen, einem Rechenprogramm wie Excel oder LibreOffice Calc. Es besteht aus Zellen, die nach Spalte und Zeile benannt sind: A1 ist die Zelle in Spalte A, Zeile 1. Eine Formel in einer Zelle beginnt mit einem Gleichheitszeichen; * heißt mal, / geteilt, ^ hoch, und der Name einer Zelle steht für die Zahl darin. Man schreibt in die Zellen A1 bis A6 die Jahre 0 bis 5 und in B1 die Formel =100*1,2^A1, die man nach unten bis B6 kopiert; dann sieht man, dass 100 nach drei Jahren 172,8 und nach vier Jahren 207,4 geworden sind. Die Verdopplung liegt dazwischen, beim Logarithmus von 2 zur Basis 1,2, den die Formel =LOG(2;1,2) ausrechnet: 3,80 Jahre. Die Faustregel der Kaufleute, die schon Pacioli 1494 ohne Begründung angibt,¹⁵ die Zahl 72 durch den Zinssatz in Prozent zu teilen, liefert 72 / 20 = 3,6 Jahre und ist für Zinsen zwischen fünf und zehn Prozent genauer. Wer dieselbe Rechnung mit zwei Prozent macht, bekommt 35 Jahre, mit sieben Prozent zehn, und hat damit verstanden, warum eine Altersvorsorge, die mit 25 beginnt, bei sieben Prozent doppelt so viel wert ist wie dieselbe, die mit 35 beginnt; der Kasten unter diesem Absatz rechnet es vor.

Der Engpass

Um 1600 konnte Europa Zahlungen bewerten, die sicher kommen: ein Darlehen mit festem Rückzahlungstag, eine Rente auf eine feste Zahl von Jahren. Aber die wichtigsten Zahlungen waren nicht sicher. Ob ein Schiff aus Indien zurückkehrt, ob ein Schuldner zahlt, wie lange ein Rentner lebt, dem die Stadt eine Rente bis an sein Lebensende verkauft hat, darauf hatte niemand eine Zahl; man schätzte, man nahm Aufschläge, man verlor. Städte verkauften solche Renten an Kinder und an Greise zum selben Preis, weil es keine Methode gab, den Unterschied zu rechnen. Der Engpass der nächsten Epoche war die Ungewissheit, und das Werkzeug dafür kam aus einer Richtung, die mit Geld wenig zu tun hatte: vom Spieltisch.

2. Wahrscheinlichkeit, Sterbetafel und Rente (1654–1800)

Glücksspiel und Erwartungswert

Das Spiel. Die Mathematik des Ungewissen begann mit Würfeln. Gerolamo Cardano, Arzt, Astrologe und Spieler, schrieb um 1564 ein Buch über das Glücksspiel, das erst 1663 gedruckt wurde und zum ersten Mal die Zahl der günstigen Fälle durch die Zahl aller Fälle teilte.¹⁶ Das ist bis heute der einfachste Weg zur Wahrscheinlichkeit, der Zahl zwischen 0 und 1, die angibt, wie oft ein Ereignis, etwa „der Würfel zeigt eine Sechs“, auf lange Sicht eintritt: Ein Würfel hat sechs gleich mögliche Seiten, die Sechs ist eine davon, ihre Wahrscheinlichkeit also 1 geteilt durch 6. Geht ein Handy mit der Wahrscheinlichkeit 0,1 in einem Jahr kaputt, trifft es auf lange Sicht eines von zehn solchen Handys je Jahr. Man schreibt das als Bruch, 1/6, was nur eine andere Schreibweise für die Teilung ist, als Kommazahl 0,167 oder in Prozent 16,7 Prozent. Eine Wahrscheinlichkeit von 0 heißt unmöglich, eine von 1 sicher, eine von ½ halb und halb. Zwei Regeln reichen für fast alles, was folgt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist 1 minus die Wahrscheinlichkeit, dass es eintritt: keine Sechs hat 1 − 1/6 = 5/6. Und hängen zwei Ereignisse nicht voneinander ab, wie zwei Würfe derselben Münze, ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten, das Produkt ihrer Wahrscheinlichkeiten: Zweimal Kopf hat ½ · ½ = ¼, dreimal Kopf ⅛.

Die Teilung. Den Anstoß zur Theorie gab 1654 ein Briefwechsel: Der Chevalier de Méré hatte Blaise Pascal gefragt, wie ein abgebrochenes Spiel gerecht zu teilen sei, und Pascal und Pierre de Fermat lösten das Teilungsproblem in Briefen vom Sommer und Herbst 1654, indem sie nicht fragten, wer vorne liegt, sondern wie wahrscheinlich jeder Ausgang des Restspiels ist.¹⁷ Pascal rechnete es am 29. Juli 1654 an einem Beispiel vor, das der Kasten unter diesem Absatz Schritt für Schritt zeigt: Zwei Spieler setzen je 32 Pistolen, Goldmünzen der Zeit, und wer zuerst drei Partien gewinnt, bekommt alle 64; das Spiel bricht beim Stand von 2:1 ab, und gerecht ist eine Teilung von 48 zu 16.¹⁷

Der Erwartungswert. Christiaan Huygens fasste die Methode 1657 in der ersten gedruckten Abhandlung des Fachs zusammen, De ratiociniis in ludo aleae, und führte darin den Begriff ein, der das Spiel mit dem Geld verbindet: Der Erwartungswert eines ungewissen Gewinns ist die Summe aller möglichen Gewinne, jeder zuvor mit seiner Wahrscheinlichkeit malgenommen.¹⁸ Bei Pascals Beispiel sind das ½ · 64 + ½ · 32 = 48: Wer das Spiel aus dieser Lage sehr oft fortsetzte, bekäme im Durchschnitt 48. Dasselbe rechnet jede Versicherung: Kostet die Reparatur eines Handys 300 Euro und geht es mit der Wahrscheinlichkeit 0,1 im Jahr kaputt, ist der erwartete Schaden 0,1 · 300 + 0,9 · 0 = 30 Euro im Jahr. Verlangt eine Handyversicherung 60 Euro, zahlt der Kunde im Mittel 30 Euro dafür, dass ein Schaden ihn nicht unvorbereitet trifft. Was ein ungewisser Anspruch wert ist, hatte damit zum ersten Mal eine Zahl.

Leibrenten und Staatsanleihen

Der Staat und die Rente. Die erste Anwendung galt den Schulden des Staates. Die Niederlande finanzierten ihre Kriege mit Renten auf Lebenszeit: Der Käufer zahlte dem Staat eine Summe und bekam dafür bis zu seinem Tod jedes Jahr einen Betrag; eine solche Leibrente ist eine Rente, deren Länge vom Leben einer Person abhängt. Gibt jemand mit 65 Jahren 100.000 Euro für eine lebenslange Rente von 5.000 Euro im Jahr, hat er ohne Zins erst nach 20 Jahren so viel zurückbekommen, wie er gezahlt hat, bei 3 Prozent Zins erst nach 31 Jahren; wer früher stirbt, hat verloren, wer länger lebt, gewonnen. Johan de Witt, als Ratspensionär der leitende Staatsmann Hollands und zugleich Mathematiker, rechnete 1671 in der Waerdye van Lyf-renten vor, dass die Republik die Renten zu billig verkaufte, weil sie von Kindern und Greisen denselben Preis nahm, und schlug einen Preis vor, der vom Alter abhängt, hergeleitet aus angenommenen Wahrscheinlichkeiten, in einem bestimmten Alter zu sterben, und aus dem Zins; die Schrift wurde kaum gelesen, und de Witt wurde 1672 vom Mob erschlagen.¹⁹ Eine Schätzung hatte es schon gegeben: 1662 hatte der Londoner Tuchhändler John Graunt aus den wöchentlichen Totenlisten der Stadt eine Überlebenstafel gemacht, nach der von 100 Geborenen mit 6 Jahren noch 64 lebten, mit 16 noch 40, mit 36 noch 16 und mit 76 noch einer; weil die Listen kein Sterbealter nannten, waren das Schätzungen, aber die Royal Society nahm den Händler auf.²⁰ Die Zahlen, die ihm fehlten, lieferte 1693 Edmond Halley, der Astronom, aus einer unwahrscheinlichen Quelle: Der Pfarrer Caspar Neumann hatte in Breslau fünf Jahre lang Geburten und Sterbefälle nach Alter aufgezeichnet und die Listen an den Gelehrten Leibniz geschickt, die Royal Society, die Gesellschaft der Naturforscher in London, erbat sie, und Halley rechnete daraus die erste Sterbetafel, die auf beobachteten Sterbealtern beruht, eine Tabelle, die für jedes Alter angibt, wie viele von einer Anfangszahl noch leben: Von tausend Einjährigen leben 855 bis zum zweiten, 798 bis zum dritten Geburtstag und so fort bis ins hohe Alter; Abbildung 2 zeigt die ganze Tafel als Kurve. Teilt man durch tausend, erhält man Wahrscheinlichkeiten: Ein Einjähriger erlebt seinen zweiten Geburtstag mit der Wahrscheinlichkeit 855 / 1.000 = 0,855. Im selben Aufsatz zeigte Halley, wie man damit den gerechten Preis einer Leibrente für jedes Alter berechnet: Man zinst jede künftige Zahlung ab, nimmt sie mit der Wahrscheinlichkeit mal, sie zu erleben, und zählt alles zusammen.²¹ Barwert und Erwartungswert waren in einer Rechnung vereint, und sie steht in dieser Form bis heute in jedem Lehrbuch der Versicherungsmathematik, der Mathematik, mit der Versicherungen ihre Preise und Rücklagen berechnen.

Die Rechnung. Halley rechnete mit sechs Prozent Zins. Wie seine Rechnung geht, zeigt der Kasten unter diesem Absatz an einer Rente über nur zwei Jahre. Setzt man die Summe bis ans Ende der Tafel fort, kommt die lebenslange Rente heraus: Nach Halleys eigener Tabelle ist sie für einen Zehnjährigen 13,44 Jahresbeträge wert, für einen Zwanzigjährigen 12,78 und für einen Sechzigjährigen 7,60; mit seiner Sterbetafel nachgerechnet sind es 7,46, im hohen Alter weicht seine Tabelle also etwas ab (der Rechner „Leibrente“ am Ende des Abschnitts rechnet jedes Alter durch). Der Fonds, der dem englischen Königspaar gerade bewilligt worden war, eine Kasse, über die der Staat Geld aufnahm, verkaufte Leibrenten zu 14 Prozent im Jahr: Wer 100 zahlte, bekam bis zu seinem Tod jedes Jahr 14, und weil 100 / 14 rund 7 ist, kostete ein Leben sieben Jahresbeträge. Halley hielt fest, dass junge Leben beim üblichen Zins etwa dreizehn wert seien: Wer ein junges Leben einsetzte, kaufte für sieben, was dreizehn wert war.²¹

Die Staatsanleihe. Leibrenten waren nicht der einzige Weg, auf dem Staaten sich Geld liehen. Eine Staatsanleihe ist eine Anleihe, die ein Staat ausgibt. Venedig hatte sich bei seinen Bürgern Geld geliehen, oft unter Zwang und nach dem Vermögen jedes Einzelnen bemessen, und fasste 1262 diese Schulden in einer Kasse zusammen, dem Monte. Es wies ihnen bestimmte Steuern zu, aus denen fünf Prozent Zins im Jahr gezahlt wurden, und erlaubte, die Forderungen an andere weiterzuverkaufen; zurückgezahlt wurde zwar noch, aber die Gläubiger rechneten nicht mehr damit, ihr Geld zurückzubekommen.²² In England wurde 1694 die Bank of England gegründet, deren Anteilseigner dem Staat als Erstes 1,2 Millionen Pfund zu 8 Prozent liehen.²³ 1749 senkte der Premierminister Henry Pelham den Zins auf die Schulden des Staates, und ein Gesetz von 1751 fasste mehrere Anleihen zu 3 Prozent zu einer einzigen Anleihe zusammen, den Consols, englisch kurz für zusammengefasste Renten, die ab 1752 ausgegeben wurden. Sie zahlte 3 Prozent und hatte keinen Tag der Rückzahlung: Der Staat durfte sie zurückkaufen, musste aber nicht. Eine solche Anleihe ist eine ewige Rente, eine Rente ohne Ende, und ihr Barwert ist einfach. Wer 100 Pfund zu 3 Prozent anlegt, bekommt jedes Jahr 3 Pfund und behält die 100 für immer; 3 Pfund im Jahr für immer sind bei 3 Prozent Zins also 100 Pfund wert, die Rate geteilt durch den Zins. Wer von Zinsen allein jeden Monat 500 Euro haben will, also 6.000 Euro im Jahr, ohne das Ersparte anzugreifen, braucht bei 3 Prozent 6.000 / 0,03 = 200.000 Euro, bei 4 Prozent nur 150.000 Euro. Die letzten britischen Anleihen ohne Tag der Rückzahlung zahlte die Regierung am 5. Juli 2015 zurück.²⁴ Eine Anleihe mit Laufzeit hat einen Nennwert, den Betrag, der am Ende zurückgezahlt wird und auf den sich der Zins bezieht, und einen Kupon, den Zins im Jahr in Prozent des Nennwerts; früher hing an jeder Anleihe ein Bogen solcher Kupons, Zinsscheine, die man abtrennte und gegen den Zins einlöste.²⁵ Eine Anleihe über 1.000 Euro Nennwert mit 3 Prozent Kupon zahlt jedes Jahr 30 Euro, gleich, zu welchem Preis sie gerade gehandelt wird, und am Ende 1.000 Euro zurück. Ihr Preis am Markt ist der Barwert ihrer Zahlungen, gerechnet mit dem Zins, den man heute anderswo für dieselbe Laufzeit bekäme. Liegt dieser Marktzins über dem Kupon, ist die Anleihe weniger wert als ihr Nennwert, liegt er darunter, mehr. Umgekehrt gefragt: Welcher Zins macht den Barwert aller Zahlungen gleich dem Preis, den man bezahlt? Dieser Zins heißt Rendite bis zur Fälligkeit, und er ist gemeint, wenn es heißt, eine Staatsanleihe rentiere mit drei Prozent. Kauft man eine Anleihe über 1.000 Euro mit 2 Prozent Kupon und zwei Jahren Restlaufzeit für 950 Euro, bekommt man zweimal 20 Euro Zins und am Ende 50 Euro mehr zurück, als man bezahlt hat; die Rendite bis zur Fälligkeit ist 4,68 Prozent, mehr als der Kupon.

Die Zahl e, die großen Zahlen und die Streuung

Die Zahl e. Zwischen Spiel und Rente entstand nebenbei eine der Zahlen der Mathematik, die so wichtig sind, dass sie einen eigenen Buchstaben bekommen haben. Jakob Bernoulli fragte 1683, was aus einem Gulden wird, der zu hundert Prozent im Jahr verzinst wird, wenn man die Zinsen nicht einmal, sondern zweimal, zwölfmal, täglich gutschreibt, also zur Schuld schlägt, damit sie mitverzinst werden: Es werden 2 Gulden, 2,25, 2,61, 2,71, und er zeigte, dass diese Zahlen einer festen Grenze immer näher kommen, ohne sie zu erreichen. Eine solche Grenze heißt Grenzwert; hier liegt er zwischen 2,5 und 3. Es ist die Zahl, die Euler später e nannte, 2,71828…, und sie kam nicht aus der Geometrie, sondern aus dem Zinseszins.²⁶ Die Rechnung dahinter zeigt der Kasten unter diesem Absatz. Je öfter gutgeschrieben wird, desto mehr kommt heraus, aber der Zuwachs schrumpft: Der Schritt von einer auf zwei Gutschriften bringt einen Viertelgulden, der von zwölf auf 365 nur noch ein Zehntel, und auch wer jede Sekunde verzinst, kommt nicht über 2,72 Gulden hinaus; warum die Grenze zwischen 2,5 und 3 liegt, begründet der blaue Kasten am Ende des Abschnitts. Schon 1737 hatte Euler gezeigt, dass e irrational ist: Die Stellen hinter dem Komma hören nie auf und wiederholen sich nicht; 1748 rechnete er den Wert auf 23 Stellen aus.²⁷ Die Grenze ist der Ertrag der stetigen Verzinsung, bei der die Zinsen in jedem Augenblick gutgeschrieben werden, unendlich oft und in unendlich kleinen Teilen. Für Sparer bringt das häufigere Gutschreiben wenig: 10.000 Euro zu 3 Prozent werden in einem Jahr bei jährlicher Gutschrift 10.300,00 Euro, bei monatlicher 10.304,16, bei täglicher 10.304,53 und bei stetiger Verzinsung 10.304,55 Euro. In dieser Form rechnet das Fach bis heute: Ein Kapital K₀ wächst bei einem Zins r in t Jahren auf K₀ · eʳᵗ, also auf K₀ mal e hoch r mal t; bei 100 Euro, 5 Prozent und 10 Jahren sind das 100 · e hoch 0,5 = 164,87 Euro, mit jährlicher Gutschrift 162,89; der zweite Kasten unter diesem Absatz rechnet beides vor. Der Logarithmus zur Basis e heißt natürlicher Logarithmus, in Tabellenkalkulationen LN; er nennt die Zeit, die ein Betrag bei stetiger Verzinsung zu hundert Prozent braucht, um auf ein Vielfaches zu wachsen, für das Doppelte ln 2 = 0,69 Jahre.

Die großen Zahlen. Bernoullis Hauptwerk, die Ars Conjectandi, erschien 1713 nach seinem Tod und bewies das Gesetz der großen Zahlen: Je öfter man ein Zufallsexperiment wiederholt, einen Versuch, dessen Ausgang vom Zufall abhängt, wie einen Wurf mit dem Würfel, desto näher kommt der Anteil, mit dem ein Ereignis beobachtet wird, seiner Wahrscheinlichkeit.²⁸ Wer zehnmal würfelt, sieht vielleicht drei Sechsen oder keine; wer sechstausendmal würfelt, sieht fast sicher ungefähr tausend. Das ist der Satz, von dem Versicherungen leben: Der Tod des Einzelnen ist unberechenbar, die Sterblichkeit von zehntausend ist eine fast sichere Zahl. Ebenso beim Fahrrad: Wird jedes Jahr eines von 20 Fahrrädern gestohlen, weiß der Einzelne nicht, ob es seines trifft; ein Versicherer mit 10.000 Kunden kann dagegen ziemlich sicher mit rund 500 Diebstählen rechnen.

Die Streuung. Wie sicher, lässt sich ausrechnen. Eine Zufallsgröße ist eine Zahl, die vom Zufall abhängt, etwa die Augenzahl eines Würfels oder die Zahl der Todesfälle in einem Jahr. Ihr Erwartungswert sagt, was im Durchschnitt herauskommt; wie weit die einzelnen Werte um ihn herum streuen, messen zwei weitere Zahlen. Man nimmt für jeden möglichen Wert den Abstand zum Erwartungswert und quadriert ihn, nimmt ihn also mit sich selbst mal; dadurch zählen große Abstände viel mehr als kleine. Den Erwartungswert dieser Quadrate nennt man Varianz, und ihre Wurzel heißt Standardabweichung; sie hat dieselbe Einheit wie die Größe selbst und sagt, wie weit ein Wert typischerweise vom Erwartungswert entfernt liegt. Zwei Anlagen, die im Mittel beide 5 Prozent bringen, können sich darin völlig unterscheiden: Ein Festgeld bringt immer 5 Prozent, die Standardabweichung ist null; eine zweite Anlage bringt je zur Hälfte 10 oder 0 Prozent, liegt also jedes Jahr 5 Prozentpunkte neben dem Mittel, und ihre Standardabweichung ist 5 Prozentpunkte. Diese Streuung wird ab Abschnitt 3 das Maß für Risiko. Beim Würfel ist der Erwartungswert 3,5 und die Standardabweichung 1,71, wie der Kasten unter diesem Absatz vorrechnet. Bei zehntausend Versicherten, die je mit einem Prozent Wahrscheinlichkeit im Jahr sterben, sind 0,01 · 10.000 = 100 Todesfälle zu erwarten, mit einer Standardabweichung von knapp 10, die der zweite Kasten unter diesem Absatz vorrechnet. Zählt man die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Zahlen von Todesfällen zusammen, liegt die Zahl in 96 von 100 Jahren zwischen 80 und 120, nicht weiter als zwei Standardabweichungen vom Erwartungswert entfernt. Bei hundert Versicherten ist ein Todesfall zu erwarten, mit einer Standardabweichung von ebenfalls knapp 1, und ob es keiner ist oder drei, entscheidet der Zufall: Im Verhältnis zur erwarteten Zahl streut die kleine Gruppe zehnmal so stark.

Die Glockenkurve. Wie die Zahl der Treffer bei vielen Versuchen um ihren Erwartungswert streut, fand der Hugenotte Abraham de Moivre, von dem bei der Versicherung noch die Rede ist, in einer kleinen lateinischen Schrift vom 12. November 1733: Bei vielen Münzwürfen folgen die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Trefferzahlen einer glatten Kurve.²⁹ Die Normalverteilung hat die Form einer Glocke, der Glockenkurve, und sie entsteht, wenn sich viele kleine, unabhängige Zufälle zusammenzählen: Gut zwei Drittel ihrer Werte liegen weniger als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt, rund 95 von 100 weniger als zwei, und nur einer von hundert liegt mehr als 2,33 Standardabweichungen darunter. Über den Zeitraum dieses Abschnitts hinaus leitete Carl Friedrich Gauß sie 1809 als Gesetz der Messfehler her, als er Bahnen von Himmelskörpern aus ungenauen Beobachtungen berechnete, und Pierre-Simon Laplace bewies 1810, warum sie überall auftaucht, wo sich viele kleine Zufälle addieren; den Namen Normalverteilung setzten erst Francis Galton und Karl Pearson gegen Ende des 19. Jahrhunderts durch.³⁰ Sie steht hinter der Rechnung mit den 10.000 Versicherten wie hinter fast allem, was in diesem Text noch kommt, von Bachelier bis zur Kopula.

Nutzen und Risikoscheu

Der Nutzen. Daniel Bernoulli, der Neffe, beantwortete in einem Aufsatz, den er in Petersburg geschrieben hatte und der dort 1738 erschien, eine Frage, die sein Vetter Nikolaus 1713 in einem Brief an den französischen Mathematiker Pierre Rémond de Montmort gestellt hatte und die das Fach bis heute beschäftigt. Eine Münze wird geworfen, bis Kopf fällt, und das Spiel zahlt einen Dukaten, wenn das beim ersten Wurf geschieht, zwei beim zweiten, vier beim dritten und so fort, mit jedem Wurf das Doppelte. Kopf beim ersten Wurf hat die Wahrscheinlichkeit ½, erst beim zweiten ½ · ½ = ¼, denn vorher muss Zahl fallen, erst beim dritten ⅛. Jeder Ausgang trägt deshalb gleich viel zum Erwartungswert bei, ½ · 1 = ½, ¼ · 2 = ½, ⅛ · 4 = ½, und die Summe ½ + ½ + ½ + … hört nie auf zu wachsen: Der Erwartungswert ist unendlich, größer als jede Zahl, die man nennen kann. Und doch würde niemand mehr als ein paar Dukaten für die Teilnahme zahlen. Bernoullis Lösung war, dass Menschen nicht den Geldbetrag bewerten, sondern seinen Nutzen, den Wert, den er für sie hat, und dass derselbe Dukaten dem Armen mehr wert ist als dem Reichen. Er schlug vor, den Nutzen mit dem Logarithmus des Vermögens zu messen, so dass jede Verdopplung des Vermögens denselben Zuwachs an Nutzen bringt, ob von zehn auf zwanzig Dukaten oder von tausend auf zweitausend, und leitete daraus ab, dass es vernünftig ist, Risiko zu scheuen und sein Vermögen auf mehrere Anlagen zu verteilen.³¹ Zweihundert Jahre später wurde daraus die Theorie, mit der die Ökonomen beschreiben, wie Menschen unter Ungewissheit entscheiden, und die Risikoscheu, die er einführte, ist die Größe, die in jedem Preis für Risiko steckt. Der Mathematiker John von Neumann und der Ökonom Oskar Morgenstern zeigten 1947 in der zweiten Auflage ihres Buches Theory of Games and Economic Behavior, dass jeder, der zwischen unsicheren Aussichten nach einigen einfachen Regeln widerspruchsfrei wählt, so handelt, als berechnete er den Erwartungsnutzen, den Durchschnitt der Nutzen aller Ausgänge, jeder mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet; eine der Regeln lautet: Wer A lieber hat als B und B lieber als C, hat auch A lieber als C.³² Das erklärt, warum Menschen Versicherungen kaufen, obwohl die Versicherung im Mittel daran verdient: Hat ein Haushalt 20.000 Euro Vermögen und droht mit der Wahrscheinlichkeit 0,01 ein Schaden von 15.000 Euro, ist der erwartete Schaden 150 Euro. Misst man den Nutzen wie Bernoulli mit dem Logarithmus des Vermögens, wäre ihm eine Hausratversicherung bis zu 275 Euro im Jahr wert, weil der seltene große Verlust schwerer wiegt als sein Durchschnitt.

Die Aussichten. Die Psychologen Daniel Kahneman und Amos Tversky zeigten 1979 mit Fragen an Versuchspersonen, dass Menschen sich so nicht verhalten. Sie bewerten Gewinne und Verluste gegenüber dem, was sie schon haben, nicht ihr ganzes Vermögen, und ein Verlust schmerzt mehr, als ein gleich großer Gewinn freut; ihre Prospect Theory, englisch für Theorie der Aussichten, beschreibt das mit einer Bewertung, die für Verluste steiler verläuft als für Gewinne. Ein Münzwurf, bei dem man bei Kopf 120 Euro gewinnt und bei Zahl 100 Euro verliert, hat den Erwartungswert ½ · 120 − ½ · 100 = 10 Euro, und trotzdem lehnen ihn viele ab. Kahneman bekam dafür 2002 den Preis der schwedischen Reichsbank für Wirtschaftswissenschaften, der mit den Nobelpreisen verliehen wird; Tversky war 1996 gestorben, und der Preis wird nicht an Verstorbene vergeben.³³

Versicherung und Aktuare

Die Versicherung. Abraham de Moivre, ein französischer Protestant, der als Hugenotte nach London geflohen war, und ein Freund Newtons, machte 1725 mit Annuities upon Lives aus Halleys Tafel ein Rechenverfahren: Er nahm an, dass die Zahl der Lebenden von zwölf Jahren an gleichmäßig abnimmt, jedes Jahr um gleich viele, bis mit 86 niemand mehr lebt, und bekam damit Formeln, die ein Kaufmann ohne Tafel anwenden konnte. In Abbildung 2 ist das die gestrichelte Gerade; zwischen 30 und 70 Jahren liegt sie nahe an Halleys Kurve.³⁴ Die Anwendung auf die Lebensversicherung, bei der man regelmäßig einzahlt und die Versicherung beim Tod eine vereinbarte Summe an die Hinterbliebenen zahlt, kam von einem Mann, den eine Versicherung abgelehnt hatte: James Dodson, Mathematiklehrer, war der Amicable Society, einer Londoner Versicherungsgesellschaft, zu alt gewesen und entwarf eine Gesellschaft, in der die Prämie, der Preis für den Versicherungsschutz, vom Alter beim Eintritt abhängt und in jungen Jahren mehr eingenommen wird, als die Todesfälle kosten, damit eine Rücklage für die späteren Jahre entsteht. Im Kern rechnet man die Prämie wie bei der Handyversicherung: erwarteter Schaden plus ein Zuschlag für Kosten und Gewinn. Sichert eine 35-Jährige ihren Baukredit mit 200.000 Euro für den Todesfall ab und stirbt sie mit der Wahrscheinlichkeit 0,001 im nächsten Jahr, ist die erwartete Leistung 0,001 · 200.000 = 200 Euro, und die Prämie für dieses Jahr liegt darüber. Dodson starb 1757, aber 1762 wurde die Society for Equitable Assurances on Lives and Survivorships nach seinem Plan gegründet, und Edward Rowe Mores, der die Gründung vorangetrieben hatte, gab ihrem leitenden Angestellten einen Titel, den es vorher nicht gab: Aktuar, der Mathematiker, der die Wahrscheinlichkeit von Leben und Tod in Preise übersetzt.³⁵ Richard Price, Prediger und Mathematiker, beriet die Gesellschaft ab 1768, veröffentlichte 1771 die Observations on Reversionary Payments mit Sterbetafeln aus London, Norwich und Northampton, von denen die Northamptoner Jahrzehnte lang der Maßstab blieb, und holte seinen Neffen William Morgan ins Haus, der 1775 Aktuar der Equitable wurde und es bis 1830 blieb.³⁶ Die Lebensversicherung war damit das erste Geschäft, das vollständig auf Mathematik gebaut war: Ihre Preise kamen aus Tafeln, nicht aus Gefühl, und ihre Rücklagen aus einer Rechnung, die sagte, wie viel heute zurückgelegt sein muss, damit die Zusagen von morgen gehalten werden können.

Die Versicherung nach 1800. Im 19. Jahrhundert, über den Zeitraum dieses Abschnitts hinaus, wurden aus den Tafeln Gesetze. Benjamin Gompertz, der als Jude von den englischen Universitäten ausgeschlossen war, privat unterrichtet wurde und 1824 Aktuar der Londoner Alliance British and Foreign Life Assurance Company wurde, zeigte 1825 in den Philosophical Transactions der Royal Society, dass die Sterblichkeit, der Anteil der Menschen eines Alters, die im Lauf eines Jahres sterben, über weite Teile des Erwachsenenlebens mit jedem Lebensjahr um denselben Prozentsatz wächst, also exponentiell wie ein Kapital mit Zinseszins. Gompertz selbst schrieb das für die Sterbeintensität, die Sterblichkeit in einem Augenblick, als $B \cdot c^x$; der Kasten unten rechnet vereinfacht mit der Sterblichkeit eines ganzen Jahres, die bei kleinen Werten fast genau so wächst. Dieses Gompertz-Gesetz ist kein Naturgesetz, aber bis heute eine brauchbare Näherung für die mittleren und späten Jahre.³⁷ Es erklärt, warum eine Lebensversicherung für den Todesfall mit dem Alter beim Abschluss teurer wird: Wächst die Sterblichkeit um 9 Prozent im Jahr, ist sie mit 54 Jahren 1,09²⁴ = 7,9-mal so hoch wie mit 30. Carl Friedrich Gauß, Mathematiker und Leiter der Sternwarte in Göttingen, prüfte von 1845 bis 1851 die Witwenkasse der Göttinger Professoren, die fürchtete, an der wachsenden Zahl der Witwen zugrunde zu gehen. Er stellte die Beiträge der Professoren und die Zinsen auf das Vermögen der Kasse gegen die Renten der heutigen und der künftig zu erwartenden Witwen und kam zu dem Ergebnis, dass die Kasse ihre Renten sogar erhöhen konnte, wenn sie die Bedingungen für den Bezug enger fasste.³⁸ Der schwedische Aktuar Filip Lundberg stellte 1903 in seiner Doktorarbeit eine neue Frage: nicht, was ein einzelner Vertrag kostet, sondern ob eine Versicherung als Ganzes überlebt. In seinem Modell fließen die Prämien gleichmäßig herein, und die Schäden kommen zu zufälligen Zeitpunkten in zufälliger Höhe; die Versicherung ist ruiniert, wenn ihre Rücklage einmal unter null fällt. In Arbeiten von 1926 und 1928 berechnete er die Ruinwahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit, dass das irgendwann geschieht: Decken die Prämien nur die erwarteten Schäden, ist der Ruin auf lange Sicht gewiss; enthalten sie einen Zuschlag, fällt die Ruinwahrscheinlichkeit mit jedem weiteren Betrag Anfangskapital, im einfachsten Fall jedes Mal um denselben Bruchteil, also exponentiell. Harald Cramér, Mathematiker in Stockholm, machte daraus von 1930 an eine strenge Theorie, die seither Cramér-Lundberg-Modell heißt.³⁹ Wie viel Kapital eine Versicherung braucht, um ein schlechtes Jahr zu überstehen, ist heute in der Europäischen Union Gesetz; davon erzählt Abschnitt 6.

Nachrechnen und üben

Selbst ausprobieren. Halleys Rechnung lässt sich mit einer aktuellen Sterbetafel nachstellen, etwa der des Statistischen Bundesamts oder der von Eurostat, dem Statistikamt der Europäischen Union, die für jedes Alter nennt, wie wahrscheinlich es ist, das nächste Jahr zu überleben. Für eine Rente von 1.000 Euro im Jahr an eine 65-jährige Person schreibt man in einer Tabellenkalkulation in Spalte A die Jahre 1, 2, 3 und so fort, in Spalte B die Wahrscheinlichkeit, das jeweilige Jahr zu erleben, die man aus der Tafel durch Malnehmen der Überlebenswahrscheinlichkeiten Jahr für Jahr erhält, und in Spalte C den Wert der Zahlung heute, =1000*B1/1,03^A1; die Summe der Spalte C ist der Barwert der Rente. Für einen Mann ist er rund das Dreizehnfache der Jahresrente, für eine Frau, die im Durchschnitt länger lebt, rund das Fünfzehnfache, und wer mit zwei Prozent statt drei rechnet, sieht ihn um rund ein Zehntel steigen.⁴⁰ Das Petersburger Spiel lässt sich mit einer Münze und einem Freund ausprobieren, und die Frage, was man für die Teilnahme zahlen würde, beantwortet jeder anders, womit Bernoullis Punkt bewiesen ist.

Der Engpass

Um 1800 konnten Aktuare bewerten, was vom Zufall abhing, solange der Zufall stabil war: Sterblichkeit ändert sich langsam, und zehntausend Versicherte gleichen sich aus. Anders der Preis einer Aktie, eines Anteils an einem Unternehmen, der seinem Besitzer einen Teil des Gewinns und ein Stimmrecht gibt, an der Börse, dem Markt, auf dem solche Anteile und Anleihen täglich gekauft und verkauft werden: Er gehorchte keiner Sterbetafel. Er änderte sich täglich, aus Gründen, die niemand aufzählen konnte, und die Mathematiker überließen ihn den Spekulanten, die kaufen, um später teurer zu verkaufen. Was fehlte, war eine Beschreibung des Zufalls, der nicht wie die Kugeln in einer Lostrommel feststeht, sondern aus den Entscheidungen von Tausenden entsteht. Die Beschreibung kam, aber sie wurde ein halbes Jahrhundert lang nicht gelesen.

3. Der Zufall an der Börse: Regnault, Bachelier und die Brownsche Bewegung (1863–1950)

Der Kurs als Zufallsweg

Der Makler. Der Erste, der den Kurs als Zufall ernst nahm, war der Gehilfe eines Börsenmaklers in Paris, eines Mannes, der für andere an der Börse kauft und verkauft. Der Kurs ist der Preis, zu dem eine Aktie oder Anleihe in einem bestimmten Augenblick gehandelt wird. Wer zehn Aktien hat, die morgens bei 50 Euro und abends bei 51,50 Euro stehen, besitzt am Abend 515 statt 500 Euro, ohne etwas getan zu haben; die Übersicht eines Depots, des Kontos für Wertpapiere, rechnet immer mit dem letzten Kurs. Jules Regnault veröffentlichte 1863 den Calcul des chances et philosophie de la Bourse, in dem er aus Kursreihen der französischen Staatsrente, einer Anleihe des Staates, die jedes Jahr denselben Zins zahlte und nie zurückgezahlt wurde, einer ewigen Rente wie die Consols, ableitete, dass kurzfristige Kursänderungen nicht vorhersagbar sind und dass die Spanne, in der sich ein Kurs bewegt, nicht mit der Zeit wächst, sondern mit ihrer Wurzel: In vier Monaten schwankt er doppelt so weit wie in einem, denn √4 = 2.⁴¹ Das ist das Kennzeichen des Zufallswegs, englisch random walk: einer Bewegung aus Schritten nach oben oder unten, bei der jeder Schritt unabhängig vom vorherigen ist und deren Entfernung vom Start im Mittel mit der Wurzel der Schrittzahl wächst; warum das so ist, zeigt der Kasten unter diesem Absatz. Wirft jemand mit einem Freund eine Münze um je einen Euro, liegt er nach 100 Würfen typischerweise etwa 10 Euro vorn oder hinten, nach 400 Würfen etwa 20 Euro, nicht viermal so viel. Wie stark ein Kurs schwankt, misst man heute mit der Volatilität, der Standardabweichung seiner prozentualen Änderungen, meist für ein Jahr angegeben: Eine Aktie mit 20 Prozent Volatilität steht nach einem Jahr typischerweise 20 Prozent über oder unter dem Wert, den man erwartet hat. Legt jemand 10.000 Euro in einen Aktienfonds, von dem er 7 Prozent im Jahr erwartet und der 20 Prozent Volatilität hat, stehen nach einem Jahr typischerweise zwischen 8.700 und 12.700 Euro im Depot; auf einem Tagesgeldkonto steht dagegen genau die Einlage plus Zins. Regnault wollte mit seiner Rechnung vor dem Spiel warnen; er hatte, ohne es zu wissen, ein Modell beschrieben, eine vereinfachte Beschreibung in Zahlen und Regeln, mit der man ausrechnen kann, wie sich etwas verhält, und auf diesem Modell beruhen hundert Jahre später die wichtigsten Preisformeln der Börse. Auch jeder Sparrechner im Netz ist ein Modell: Er nimmt etwa an, dass ein Fonds jedes Jahr genau 6 Prozent bringt, und macht so aus 5.000 Euro in zehn Jahren 5.000 · 1,06¹⁰ = 8.954,24 Euro; in Wirklichkeit schwankt der Fonds, aber ohne die Vereinfachung könnte man gar nicht rechnen.

Die Dissertation. Am 29. März 1900 verteidigte Louis Bachelier an der Sorbonne, der Pariser Universität, seine Doktorarbeit mit dem Titel Théorie de la spéculation, betreut von dem Mathematiker Henri Poincaré. Er beschrieb den Kurs der Staatsrente als Summe unzähliger kleiner, unabhängiger Zufallsschritte und leitete die Gleichung her, die angibt, wie wahrscheinlich es ist, nach einer bestimmten Zeit bei einem bestimmten Kurs zu stehen. Es war dieselbe Gleichung, mit der die Physik die Ausbreitung von Wärme beschreibt: So wie sich Wärme von einer heißen Stelle aus immer weiter verteilt, verteilt sich die Wahrscheinlichkeit des Kurses mit der Zeit über immer mehr mögliche Werte. Daraus berechnete er, was eine Option auf die Rente wert ist, das Recht, aber nicht die Pflicht, sie bis zu einem bestimmten Tag zu einem vorher festgelegten Preis zu kaufen oder zu verkaufen, und verglich das Ergebnis mit den Preisen der Pariser Börse.⁴² Im Alltag gleicht eine Option einer bezahlten Reservierung: Zahlt jemand einem Verkäufer 500 Euro dafür, ein Auto bis Monatsende für 20.000 Euro kaufen zu dürfen, aber nicht zu müssen, und ist das Auto dann 22.000 Euro wert, kauft er und steht nach Abzug der 500 Euro um 1.500 Euro besser da; ist es nur 18.000 Euro wert, lässt er es, und mehr als die 500 Euro kann er nicht verlieren. Die Arbeit bekam die Note „honorable“, nicht die beste, Bachelier hangelte sich von Stelle zu Stelle, Dijon lehnte ihn 1926 nach einem kritischen Gutachten von Paul Lévy ab, der Bachelier missverstanden hatte und sich nach 1931, als er dessen Ergebnisse bei Kolmogorow wiederfand, brieflich bei ihm entschuldigte, und erst 1927, mit 57 Jahren, wurde er Professor in Besançon. Sein Modell hatte einen Fehler, den man erst später sah: Es erlaubte negative Kurse, weil es den Kurs selbst und nicht seine prozentuale Änderung zufällig schwanken ließ; eine lange Folge von Schritten nach unten konnte ihn unter null drücken, was bei einem Preis keinen Sinn hat. Hundertzwanzig Jahre später zeigte sich, dass ein negativer Preis doch Sinn haben kann. Am 20. April 2020, als in der Pandemie kaum noch jemand Öl brauchte und die Lager voll waren, fiel an der New Yorker Warenbörse der Preis für ein Fass amerikanischen Rohöls zur Lieferung im Mai auf minus 37,63 Dollar, zum ersten Mal, seit es diesen Vertrag gab, unter null: Wer einen Vertrag über Öl hielt, aber keinen Platz zum Lagern hatte, bezahlte dafür, ihn loszuwerden. Die Chicagoer Börsengruppe CME, zu der die New Yorker Warenbörse gehört, bewertete ihre Optionen auf Öl vom 22. April an mit Bacheliers Modell, gerade weil es negative Preise erlaubt, und kehrte erst zum 31. August zu den alten Modellen zurück.⁴³ Aber es enthielt fünf Jahre vor Einstein die Mathematik dessen, was heute Brownsche Bewegung heißt, die zufällige Zitterbewegung, die der Botaniker Robert Brown 1827 an winzigen Teilchen aus Pollenkörnern im Wasser beobachtet hatte, und fünfzig Jahre vor den Ökonomen die Einsicht, dass der erwartete Gewinn eines Spekulanten null ist. Im Kleinen ist sie der Münzwurf aus dem Absatz über Regnault, mit unzählig vielen, winzigen Würfen.

Physik und Daten

Die Physik. Die Mathematik holte die Börse von der anderen Seite ein. Albert Einstein leitete 1905 die Brownsche Bewegung aus den Stößen der Moleküle her, der winzigen Teilchen, aus denen das Wasser besteht, und zeigte, dass die mittlere Entfernung eines Teilchens von seinem Ausgangspunkt mit der Wurzel der Zeit wächst, dieselbe Wurzel wie bei Regnault.⁴⁴ Norbert Wiener gab der Bewegung 1923 in einem Aufsatz mit dem Titel Differential Space ein strenges Fundament: eine Rechnung, die nicht nur jedem Endwert, sondern jedem ganzen Verlauf ohne Sprünge eine Wahrscheinlichkeit zuordnet, so dass man ausrechnen kann, wie wahrscheinlich ein ganzer Kursverlauf ist.⁴⁵ Andrei Kolmogorow stellte 1933 in den Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeitsrechnung das ganze Fach auf Axiome, wenige Grundregeln, aus denen sich alles Weitere ableiten lässt, und machte damit aus den Rezepten der Spieler eine Theorie, die mit beliebigen Zufallsgrößen rechnen konnte.⁴⁶ Ein stochastischer Prozess ist seither eine Folge von Zufallsgrößen, eine für jeden Zeitpunkt, wie ein Kurs, eine Temperatur oder der Ort eines Teilchens, und die Brownsche Bewegung ist sein Grundbaustein. Der Wert eines Depots an jedem Abend eines Monats ist ein solcher Prozess, eine Reihe von Zahlen, von denen man jede erst am jeweiligen Abend kennt; ein Sparbuch mit festem Zins ist keiner, denn sein Stand lässt sich für jeden Tag im Voraus ausrechnen.

Die Empiriker. Während die Mathematiker den Zufall begründeten, prüften amerikanische Statistiker, die aus Daten Schlüsse ziehen, ob die Börse ihm gehorcht. Alfred Cowles, Erbe eines Zeitungsvermögens, der sich fragte, warum ihn 1929 kein Berater vor dem Absturz der Kurse gewarnt hatte, untersuchte 1933 im ersten Jahrgang der Fachzeitschrift Econometrica die Empfehlungen von sechzehn Finanzdiensten, zwanzig Versicherungen und 24 Börsenbriefen, Rundschreiben mit Kauf- und Verkaufsempfehlungen, über mehrere Jahre und fand, dass sie im Durchschnitt schlechter abschnitten als der Zufall; der Titel war eine Frage, „Can Stock Market Forecasters Forecast?“ (Können Börsenprognostiker etwas vorhersagen?), und die Antwort, in drei Worten unter dem Titel, lautete: „It is doubtful“ (Das ist zweifelhaft).⁴⁷ Holbrook Working zeigte 1934, dass eine Reihe aus zufälligen Zuwächsen aussieht wie die Preise empfindlicher Rohstoffe, und Maurice Kendall fand 1953 in britischen Aktien- und Rohstoffpreisen keine Muster, die ein Statistiker hätte ausnutzen können.⁴⁸ Die Börse verhielt sich wie Bacheliers Modell, und keiner der Beteiligten kannte Bachelier.

Wert ohne Zufall: Fisher, Williams, Macaulay

Die Bewertung. Parallel entstand die Mathematik des Wertes ohne Zufall. Irving Fisher legte 1930 in The Theory of Interest den Zins als Preis zwischen Gegenwart und Zukunft aus, bestimmt von Ungeduld und Gelegenheit, und formulierte die Regel, nach der sich eine Investition, Geld, das man heute ausgibt, um später mehr zurückzubekommen, etwa für eine Maschine, lohnt, wenn der Barwert ihrer künftigen Erträge größer ist als ihre Kosten.⁴⁹ Dieselbe Regel gilt für einen sparsamen Kühlschrank: Kostet er 600 Euro und spart zehn Jahre lang je 80 Euro Strom, sind die Ersparnisse bei 3 Prozent Zins heute 80 · (1 − 1,03⁻¹⁰) / 0,03 = 682,42 Euro wert, mehr als der Preis; der Kauf lohnt sich. John Burr Williams schrieb 1938 in The Theory of Investment Value, dass eine Aktie den Barwert ihrer künftigen Dividenden wert ist, der Teile des Gewinns, die ein Unternehmen jedes Jahr an die Besitzer seiner Aktien auszahlt, nicht mehr und nicht weniger, und gab dem, was seither innerer Wert heißt, eine Formel; Benjamin Graham und David Dodd hatten 1934 in Security Analysis die Praxis dazu beschrieben, den Kauf unter diesem Wert.⁵⁰ Wer 50 Aktien eines Unternehmens hält, das 1,20 Euro je Aktie ausschüttet, bekommt vor Steuern 60 Euro aufs Konto. Bringt eine vermietete Wohnung nach allen Kosten dauerhaft 6.000 Euro im Jahr, ist sie bei 4 Prozent Zins 6.000 / 0,04 = 150.000 Euro wert, nach derselben Rechnung wie die ewige Rente in Abschnitt 2; eine Aktie mit dauerhaft 2 Euro Dividende ist bei 5 Prozent 2 / 0,05 = 40 Euro wert. Frederick Macaulay führte im selben Jahr 1938 die Duration ein, die durchschnittliche Wartezeit auf die Zahlungen einer Anleihe, bei der jede Zahlung so viel zählt, wie sie zum Barwert beiträgt. Sie gibt bis heute an, wie stark ein Anleihekurs auf eine Zinsänderung reagiert: Steigt der Zins am Markt, sind die festen Zahlungen einer schon ausgegebenen Anleihe weniger wert, weil man sie stärker abzinst, und ihr Kurs fällt, um so mehr, je länger man auf das Geld warten muss.⁵¹ Hält jemand zwei Anleihen über je 100 Euro mit 3 Prozent Kupon, die zum Kurs von 100 gehandelt werden, weil der Marktzins 3 Prozent beträgt, eine mit zwei und eine mit zehn Jahren Laufzeit, und steigt der Marktzins auf 4 Prozent, fällt die kurze auf 98,11 Euro, die lange auf 91,89 Euro. Diese drei Werkzeuge rechnen mit sicheren Zahlungen und einem Zins; sie sind die Linie Fibonaccis, verlängert bis in die Rechnung jedes Unternehmens.

Itôs Rechnung

Itô. Das Werkzeug, mit dem man mit der Brownschen Bewegung rechnen kann wie mit gewöhnlichen Zahlen, kam 1944 aus Japan. Kiyosi Itô, der bis 1943 im Statistikamt des Kabinetts gearbeitet hatte und dann an die Universität Nagoya gegangen war, fand eine Art, unzählig viele kleine zufällige Änderungen zusammenzuzählen; die Regel, die seinen Namen trägt, folgte 1951. Eine Funktion ist eine Rechenvorschrift, die aus einer Zahl eine andere macht, etwa das Quadrieren oder der Logarithmus. Auch ein Stromtarif ist eine Funktion: Mit 10 Euro Grundgebühr im Monat und 30 Cent je Kilowattstunde macht er aus 200 Kilowattstunden eine Rechnung von 70 Euro; der Zinseszins 1.000 · 1,03ⁿ macht aus der Zahl der Jahre n einen Kontostand. Wendet man eine Funktion auf einen Kurs an, der zufällig zittert, bekommt ihre Änderung einen zusätzlichen Teil, den es bei sicheren Größen nicht gibt, weil die Quadrate der kleinen Zufallsschritte nicht verschwinden, sondern sich über die Zeit zusammenzählen, so wie die Varianzen im Wurzelgesetz.⁵² Der Itô-Kalkül, die Rechenregeln für Größen, die sich in jedem Augenblick zufällig ändern, ist der Grund, warum die Optionsformel von 1973 eine Formel wurde und nicht nur eine Idee. Was der zusätzliche Teil bedeutet, zeigt der Kasten unter diesem Absatz: Schwankung kostet Wachstum. 1944 interessierte sich kein Ökonom dafür; zu ihnen kam die Rechnung erst zwei Jahrzehnte später über das MIT, wie Abschnitt 4 erzählt.

Nachrechnen und üben

Selbst ausprobieren. Ein Zufallsweg entsteht in einer Tabellenkalkulation aus zwei Spalten. In A1 steht =WENN(ZUFALLSZAHL()<0,5;-1;1): ZUFALLSZAHL() liefert eine zufällige Kommazahl zwischen 0 und 1, und WENN gibt −1 aus, wenn sie kleiner als 0,5 ist (das Zeichen < heißt kleiner als), sonst 1; das ist ein Münzwurf. In B1 steht =A1, in B2 =B1+A2, die laufende Summe aller bisherigen Schritte. Kopiert man beide Formeln 250 Zeilen nach unten und zeichnet Spalte B als Liniendiagramm, ein Schaubild wie Abbildung 1, sieht man einen Zufallsweg. Wer die Taste F9 drückt, bekommt jedes Mal einen neuen Verlauf, und wer zehn davon neben den Kursverlauf einer echten Aktie legt, wird sie nicht sicher unterscheiden können; das ist der Test, den der Statistiker Harry Roberts 1959 seinen Kollegen vorlegte,⁵³ und der Knopf unter Abbildung 3 würfelt die drei Wege dort neu. Die Spanne, in der die Pfade nach n Schritten meist liegen, reicht zweimal die Wurzel von n nach oben und nach unten (Abbildung 3): nach 100 Schritten etwa ±20, also von −20 bis +20, nach 400 etwa ±40.

Der Engpass

1950 war der Zufall an der Börse beschrieben, an Daten bestätigt und mathematisch streng, und die Teile lagen in drei Fächern, die nicht miteinander sprachen: Bachelier bei den Mathematikern, die ihn zitierten, den Ökonomen aber unbekannt; Cowles und Working bei den Statistikern; Fisher und Williams bei den Ökonomen. Was fehlte, war eine Theorie, die sagte, was ein Anleger, wer also Geld anlegt, halten soll, wenn die Zukunft zufällig ist, und welchen Preis der Markt dafür zahlt, dass jemand ein Risiko trägt, die Möglichkeit, dass es anders kommt als erwartet und er verliert. 10.000 Euro auf einem Tagesgeldkonto zu 2 Prozent bringen in einem Jahr sicher 200 Euro; in einem Aktienfonds sind vielleicht 700 Euro zu erwarten, aber in einem schlechten Jahr können es auch 2.000 Euro Verlust sein. Die Antwort kam aus Chicago, von einem Doktoranden, dem ein Makler im Wartezimmer seines Professors das Thema vorgeschlagen hatte.

4. Portfolio, Markt und der Preis des Risikos (1952–1972)

Streuen statt raten: Markowitz

Die Auswahl. Harry Markowitz, 24 Jahre alt, veröffentlichte im März 1952 im Journal of Finance fünfzehn Seiten mit dem Titel „Portfolio Selection“, die das Fach begründeten, das heute Finanzökonomie heißt, die Lehre von den Geldanlagen und ihren Preisen. Seine Beobachtung war, dass Anleger nicht nur die Aktie mit der höchsten erwarteten Rendite kaufen, sondern ihr Geld verteilen, und dass die Theorie bis dahin nicht erklären konnte, warum. Seine Antwort: Ein Anleger bewertet nicht einzelne Wertpapiere, also Aktien und Anleihen, sondern sein Portfolio, die Gesamtheit dessen, was er hält, und zwar nach zwei Zahlen, der erwarteten Rendite und der Volatilität.⁵⁴ Hat jemand 6.000 Euro in einem Aktienfonds, von dem er 7 Prozent erwartet, 3.000 Euro auf dem Tagesgeldkonto zu 2 Prozent und 1.000 Euro in einer einzelnen Aktie, von der er 9 Prozent erwartet, ist das sein Portfolio, und dessen erwartete Rendite ist der gewichtete Durchschnitt 0,6 · 7 + 0,3 · 2 + 0,1 · 9 = 5,7 Prozent. Die Volatilität eines Portfolios hängt nicht nur von den Volatilitäten seiner Teile ab, sondern davon, wie sie sich gemeinsam bewegen: Zwei Aktien, die nicht im Gleichschritt schwanken, ergeben zusammen weniger Risiko als jede allein, weil der Verlust der einen oft vom Gewinn der anderen ausgeglichen wird. Wie sehr sich zwei Renditen im Gleichschritt bewegen, misst die Korrelation, eine Zahl zwischen −1 und 1: Bei 1 gehen sie immer gemeinsam, bei 0 unabhängig voneinander, bei −1 stets gegeneinander. Ein Eisverkäufer verdient in einem sonnigen Sommer 30 Prozent auf sein Kapital und verliert in einem verregneten 10 Prozent, ein Schirmverkäufer genau umgekehrt; ihre Korrelation ist −1. Wer an beiden zur Hälfte beteiligt ist, verdient in jedem Sommer (30 − 10) / 2 = 10 Prozent, ob es regnet oder nicht. Zwei Aktien mit je 20 Prozent Volatilität, zur Hälfte gemischt, ergeben bei einer Korrelation von 1 wieder 20 Prozent, bei 0,5 noch 17,3, bei 0 nur 14,1, und bei −1 verschwände das Risiko ganz, wie der Kasten unter diesem Absatz vorrechnet; haben beide dieselbe erwartete Rendite, sinkt das Risiko bei unabhängigen Kursen um fast ein Drittel, ohne dass Rendite verloren geht. Diversifikation, die Streuung des Geldes über Anlagen, die sich nicht gleich verhalten, bekam damit eine Formel und eine Grenze. Steckt jemand 10.000 Euro in die Aktie eines einzigen Unternehmens, das mit der Wahrscheinlichkeit 0,05 pleitegeht, verliert er mit dieser Wahrscheinlichkeit alles. Verteilt er das Geld zu je 500 Euro auf 20 solche Unternehmen, die unabhängig voneinander pleitegehen können, ist der erwartete Verlust derselbe, 500 Euro, aber dass mehr als drei pleitegehen und er 2.000 Euro oder mehr verliert, geschieht nur mit der Wahrscheinlichkeit 0,016. Aus demselben Grund ist es riskant, die Ersparnisse in Aktien des eigenen Arbeitgebers anzulegen: Geht das Unternehmen pleite, sind Arbeitsplatz und Geld zugleich weg. Die Portfolios, die bei gegebener Volatilität die höchste erwartete Rendite liefern, bilden eine Kurve, die Effizienzkurve, auf der jeder vernünftige Anleger irgendwo liegen sollte; in Abbildung 4 steht die Volatilität nach rechts und die erwartete Rendite nach oben, so dass gute Portfolios oben links liegen. Wer nur Anleihen hält, die 3 Prozent bei 5 Prozent Volatilität bringen, und ein Zehntel davon gegen Aktien tauscht, die 8 Prozent bei 20 Prozent Volatilität bringen und nicht mit den Anleihen korreliert sind, erwartet 0,9 · 3 + 0,1 · 8 = 3,5 Prozent bei einer Volatilität von 4,9 Prozent: mehr Rendite bei weniger Risiko, denn die reinen Anleihen lagen nicht auf der Effizienzkurve.

Der Preis des Risikos

Der Markt. Was folgt, wenn alle Anleger so rechnen? James Tobin zeigte 1958, dass die Wahl zerfällt, wenn es eine sichere Anlage gibt, eine Anlage ohne Schwankung wie eine kurz laufende Staatsanleihe, die den sicheren Zins bringt: Alle halten dasselbe Portfolio riskanter Anlagen und mischen es nur in verschiedenen Anteilen mit der sicheren Anlage, der Vorsichtige mit viel, der Wagemutige mit wenig.⁵⁵ Für einen Sparer ist die sichere Anlage etwa ein Festgeld, in dem aus 5.000 Euro zu 2,5 Prozent in einem Jahr sicher 5.125 Euro werden; wer 4.000 Euro als Festgeld anlegt und 1.000 Euro in einen breit gestreuten Aktienfonds steckt, mischt genau so, wie Tobin es beschreibt. William Sharpe, Markowitz’ Schüler, zog daraus im September 1964 den Schluss, dass dieses gemeinsame Portfolio der Markt selbst sein muss, das Marktportfolio, das alle Aktien im Verhältnis ihres Werts an der Börse enthält, und dass der Markt für das Risiko einer einzelnen Anlage nur so weit zahlt, wie sie das Risiko des Marktportfolios erhöht; John Lintner und Jan Mossin kamen unabhängig zum selben Ergebnis.⁵⁶ Bestünde ein Markt nur aus drei Unternehmen, die an der Börse 600, 300 und 100 Millionen Euro wert sind, hielte das Marktportfolio, wer von 1.000 Euro 600 in die erste, 300 in die zweite und 100 in die dritte Aktie steckt; ein Fonds, der alle Aktien eines Marktes im Verhältnis ihres Börsenwerts kauft, kommt dem nahe. Ihr Modell, das Capital Asset Pricing Model oder CAPM, auf Deutsch etwa Preismodell für Kapitalanlagen, misst diese Empfindlichkeit mit einer Zahl, dem Beta: Eine Aktie mit Beta zwei bewegt sich im Mittel doppelt so weit wie der Markt, steigt also um 2 Prozent, wenn er um 1 Prozent steigt. Fällt der Markt um 10 Prozent, fällt eine Reiseaktie mit Beta 1,5 im Mittel um 15 Prozent, ein Lebensmittelhändler mit Beta 0,5 nur um 5 Prozent, denn gegessen wird auch in schlechten Zeiten. Man schätzt das Beta, indem man die Renditen der Aktie gegen die des Marktes aufträgt und die Gerade sucht, die am besten durch die Punkte passt; ihre Steigung, um wie viel sie nach oben geht, wenn man um eins nach rechts geht, ist das Beta. Ein Taxi mit 4 Euro Grundpreis und 2 Euro je Kilometer hat die Steigung 2: Jeder Kilometer mehr kostet 2 Euro mehr. Für ihr Risiko muss eine Aktie mit Beta zwei die doppelte Risikoprämie liefern, die Rendite über den sicheren Zins hinaus, die der Markt bringt; Risiko, das sich wegstreuen lässt, wird nicht bezahlt. Bringt das Tagesgeld 2 Prozent und erwartet man vom Aktienfonds 7 Prozent, ist die Risikoprämie 5 Prozentpunkte, bei 10.000 Euro 500 Euro im Jahr als Lohn dafür, die Schwankungen auszuhalten. Die erwartete Rendite jeder Anlage ist damit der sichere Zins plus Beta mal die Risikoprämie des Marktes, und der Preis des Risikos war zum ersten Mal eine Größe, die man aus Kursen schätzen konnte. In Abbildung 4 liegen alle Mischungen aus sicherer Anlage und Marktportfolio auf einer Geraden, der Kapitalmarktlinie.

Die Arbitrage. Das zweite Argument, das die Epoche prägte, kam aus der Lehre davon, wie Unternehmen sich Geld beschaffen. Ein Unternehmen kann sich mit Eigenkapital finanzieren, dem Geld seiner Eigentümer, das nicht zurückgezahlt werden muss und dafür am Gewinn und am Verlust teilnimmt, oder mit Schulden, die verzinst und zurückgezahlt werden müssen. Kauft jemand ein Haus für 400.000 Euro mit 80.000 Euro eigenem Geld und 320.000 Euro Kredit, ist sein Eigenkapital 80.000 Euro; steigt der Hauswert um 10 Prozent auf 440.000 Euro, wächst es auf 120.000 Euro, um 50 Prozent, fällt er um 10 Prozent, schrumpft es auf 40.000 Euro, denn die Schulden bleiben gleich. Franco Modigliani und Merton Miller bewiesen im Juni 1958, dass der Wert einer Firma unter idealen Bedingungen, ohne Steuern und Kosten, nicht davon abhängt, wie sie sich finanziert, und ihr Beweis hatte eine neue Form: Wären zwei gleiche Firmen verschieden bewertet, könnte ein Anleger die billige kaufen, die teure verkaufen und ohne Risiko gewinnen, und weil das nicht dauerhaft möglich ist, müssen die Preise gleich sein.⁵⁷ Arbitrage ist ein solcher Gewinn ohne Einsatz und ohne Risiko, und die Annahme, dass es sie an einem funktionierenden Markt nicht gibt, wurde zum stärksten Werkzeug des Fachs: Sie bestimmt Preise, ohne dass man wissen muss, was die Anleger wollen. Verkauft ein Münzhändler eine Goldmünze für 1.000 Euro und kauft ein anderer zur selben Zeit dieselbe Münze für 1.020 Euro an, kann man beim einen kaufen, beim anderen verkaufen und 20 Euro ohne Risiko verdienen; weil das viele tun, steigt der Preis beim ersten und sinkt beim zweiten, bis die Lücke verschwindet.

Der Zufall wird Theorie

Der Nachweis. Inzwischen hatten die Ökonomen Bachelier gefunden. In den 1950er Jahren verschickte der Statistiker Jimmie Savage Postkarten an Kollegen mit der Frage, ob jemand den Franzosen kenne; Paul Samuelson, Ökonom am MIT, der technischen Hochschule bei Boston, besorgte sich die Doktorarbeit und ließ sie übersetzen.⁵⁸ Der Physiker M. F. M. Osborne vom Forschungslabor der amerikanischen Marine beschrieb 1959 Aktienkurse als Brownsche Bewegung, allerdings der Logarithmen, so dass die prozentualen Änderungen zufällig sind und nicht die Änderungen in Euro; ein Kurs, der immer nur um einen Anteil seiner selbst fällt, kann nicht unter null fallen, und Bacheliers negative Kurse verschwanden.⁵⁹

Die schweren Ränder. Benoît Mandelbrot fand 1963 an Baumwollpreisen eine Abweichung, für die man einen weiteren Begriff braucht. Eine Verteilung gibt an, wie wahrscheinlich die möglichen Werte einer Zufallsgröße sind; zeichnet man auf, wie oft jeder Wert vorkommt, bekommt sie eine Form. Wirft man zwei Würfel und zählt die Augen zusammen, kommt die 7 in 6 von 36 möglichen Fällen vor, die 2 und die 12 in nur je einem; trägt man auf, wie oft jede Summe vorkommt, entsteht ein Dreieck mit der Spitze bei 7. Die Normalverteilung aus Abschnitt 2 hat die Form einer Glocke, der Glockenkurve, und sie entsteht, wenn sich viele kleine, unabhängige Zufälle zusammenzählen: Gut zwei Drittel ihrer Werte liegen weniger als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt, rund 95 von 100 weniger als zwei, und nur einer von hundert liegt mehr als 2,33 Standardabweichungen darunter. Mandelbrot zeigte, dass die Änderungen der Baumwollpreise zwar zufällig, aber nicht normalverteilt sind: Große Sprünge kamen viel häufiger vor, als die Glockenkurve erlaubt. Solche Verteilungen haben schwere Ränder, mehr Wahrscheinlichkeit für extreme Werte als die Glockenkurve, und Mandelbrots Warnung, dass die Varianz der Kursänderungen womöglich unendlich groß ist, weil die Ausreißer beliebig groß werden können, blieb vierzig Jahre lang die unbequemste Fußnote des Fachs.⁶⁰ Eine Aktie mit 20 Prozent Volatilität im Jahr schwankt an einem Tag um rund 1,26 Prozent, denn 20 / √250 = 1,26; einen Tag mit minus 5 Prozent dürfte es nach der Glockenkurve nur etwa einmal in hundert Jahren geben. Schwere Ränder heißen, dass solche Tage viel häufiger kommen, als die Glockenkurve sagt; wer mit ihr rechnet, unterschätzt das Risiko großer Verluste.

Der effiziente Markt. Samuelson bewies 1965, dass an einem Markt, der alle Informationen richtig verarbeitet, die Preise zufällig schwanken müssen, weil jede vorhersehbare Bewegung sofort weggehandelt würde: Wer wüsste, dass ein Kurs morgen steigt, kaufte heute, und der Kurs stiege schon heute. Der Kurs ist dann ein Martingal, ein stochastischer Prozess, dessen beste Vorhersage für morgen der Wert von heute ist.⁶¹ Spielt jemand mit 50 Euro in der Kasse eine faire Münzwette um je einen Euro, ist die beste Vorhersage für seine Kasse nach dem nächsten Wurf 50 Euro, ebenso nach hundert Würfen. Auch eine Regel wie „nach jedem Verlust den Einsatz verdoppeln“ ändert daran nichts: Sie bringt viele kleine Gewinne und selten einen großen Verlust, im Mittel bleibt es bei null. Eugene Fama fasste die Belege 1970 unter dem Begriff Markteffizienz zusammen: Ein Markt ist effizient, wenn die Preise alle verfügbaren Informationen enthalten, und Fama unterschied, welche Informationen gemeint sind, vergangene Kurse, öffentliche Nachrichten oder auch das, was nur Insider wissen, Leute im Unternehmen, die mehr erfahren als die Öffentlichkeit.⁶² Meldet ein Unternehmen vor Handelsbeginn einen doppelt so hohen Gewinn wie erwartet, steht seine Aktie gleich nach Handelsbeginn vielleicht bei 46 statt 40 Euro; wer die Nachricht beim Frühstück liest und dann kauft, zahlt schon die 46 Euro. Was Cowles 1933 gezählt hatte, war damit eine Theorie, und der Zufallsweg war nicht mehr Mangel an Wissen, sondern die Folge davon, dass alle alles wissen.

Die stetige Zeit. Wie Itôs Rechnung zu den Ökonomen kam, ist eine Geschichte von Nachbarn. Samuelson ließ die Kurse 1965 nicht wie Bachelier um feste Beträge, sondern um feste Anteile zufällig schwanken, damit sie nie unter null fallen, und der Mathematiker Henry McKean, der am MIT mit Itô zusammenarbeitete, schrieb ihm dazu einen Anhang.⁶³ Robert Merton, der angewandte Mathematik studiert hatte, kam 1967 an das MIT und rechnete 1969 und 1971 vor, wie ein Anleger sein Vermögen anlegt und verbraucht, wenn er seine Mischung in jedem Augenblick ändern kann; er sah wohl als Erster, was das Itô-Integral bedeutet: Es zählt viele kleine zufällige Kursänderungen zusammen, jede malgenommen mit der Menge, die man in diesem Augenblick hält, und beschreibt damit nichts anderes als den Gewinn einer Handelsstrategie.⁶⁴ Im Kleinen ist das die Abrechnung eines Sparplans: Hält jemand im ersten Monat 10 Fondsanteile, die um 2 Euro steigen, im zweiten 15, die um 1 Euro fallen, und im dritten 20, die um 3 Euro steigen, ist sein Gewinn 10 · 2 − 15 · 1 + 20 · 3 = 65 Euro. Das Itô-Integral ist dieselbe Summe mit unzählig vielen, beliebig kleinen Schritten. Damit lagen die Werkzeuge bereit, mit denen 1973 die Optionsformel hergeleitet wurde.

Kelly und Thorp

Die Spieler. Neben den Professoren rechneten die Spieler, und sie waren schneller. John Kelly, Ingenieur bei den Bell Labs, dem Forschungslabor der amerikanischen Telefongesellschaft, leitete 1956 aus Claude Shannons Informationstheorie, der Mathematik der Nachrichtenübertragung, her, welchen Anteil seines Vermögens ein Spieler setzen sollte, der einen Vorteil hat: so viel, dass das Vermögen im Mittel am schnellsten exponentiell wächst, und nicht mehr, weil jeder höhere Einsatz das Wachstum wieder bremst; wer etwa doppelt so viel setzt, kommt auf Dauer nicht mehr voran.⁶⁵ Wer eine Wette, die den Einsatz verdoppelt oder verliert, mit 55 Prozent gewinnt und jedes Mal alles setzt, ist beim ersten Verlust pleite; wer nichts setzt, gewinnt nie; dazwischen liegt ein Anteil, bei dem das Vermögen am schnellsten wächst, hier 10 Prozent, wie der Kasten unter diesem Absatz durch Ausprobieren zeigt; die Herleitung steht im blauen Kasten am Ende des Abschnitts. Das Kelly-Kriterium ist diese Regel für die Einsatzhöhe. Bei einer fairen Münzwette, die den Einsatz verdoppelt, sagt sie: gar nichts setzen, denn ohne Vorteil gibt es nichts zu gewinnen, und bei Glücksspielen, in denen die Bank im Vorteil ist, gilt das erst recht; erst wer mit 60 Prozent gewinnt, soll 20 Prozent seines Vermögens setzen. Edward Thorp, Mathematikprofessor, wandte sie 1962 in Beat the Dealer auf das Kartenspiel Blackjack an, das er mit Kartenzählen schlug: Er merkte sich, welche Karten schon gespielt waren, und erkannte so, wann der Rest des Stapels ihn begünstigte. 1967 beschrieb er in Beat the Market, mit Sheen Kassouf, ein Verfahren für Optionsscheine, Optionen, die ein Unternehmen selbst ausgibt und die an der Börse gehandelt werden: Er kaufte die Aktie und verkaufte zugleich so viele Optionsscheine auf sie, dass sich Gewinne und Verluste aufhoben. Fiel die Aktie, verlor er an ihr, aber die verkauften Optionsscheine wurden ebenfalls billiger, und er konnte sie günstiger zurückkaufen; das war Jahre vor der Formel, die das richtige Verhältnis exakt angibt.⁶⁶ Thorp hat später gesagt, er habe die Formel schon besessen; er handelte mit ihr, statt sie zu veröffentlichen.

Nachrechnen und üben

Selbst ausprobieren. Markowitz lässt sich mit zwei Aktien nachrechnen. Man lädt fünf Jahre Monatskurse zweier Aktien herunter, etwa von der Internetseite einer Börse, und bildet die Monatsrenditen: Kurs am Monatsende geteilt durch den Kurs am Ende des Vormonats, minus 1, als Formel etwa =B3/B2-1. Die Funktion STABW berechnet aus einer Spalte von Renditen die Standardabweichung, also die Volatilität jeder Aktie, MITTELWERT den Durchschnitt und KORREL die Korrelation zweier Spalten. Weil es Monatsrenditen sind, liefert STABW die Volatilität eines Monats; aufs Jahr gerechnet nimmt man sie mit der Wurzel aus 12 mal, so werden aus 5,8 Prozent im Monat 20 Prozent im Jahr, denn die Schwankung wächst, wie Regnault sah, mit der Wurzel der Zeit, und die mittlere Monatsrendite mal 12 ist die erwartete Rendite im Jahr. Stehen die beiden Jahresvolatilitäten in B1 und C1, die Korrelation in D1, die erwarteten Renditen in B2 und C2 und in Spalte A ab Zeile 4 die Anteile der ersten Aktie von 0 bis 1 in Schritten von 0,1, dann liefert =A4*$B$2+(1-A4)*$C$2 die Rendite der Mischung und =WURZEL(A4^2*$B$1^2+(1-A4)^2*$C$1^2+2*A4*(1-A4)*$D$1*$B$1*$C$1) ihre Volatilität nach der Formel im Kasten oben; die Dollarzeichen halten die Zellen B1 bis D1 fest, wenn man die Formel nach unten kopiert, und WURZEL zieht die Wurzel. Trägt man Rendite gegen Volatilität als Punktdiagramm auf, entsteht die gekrümmte Kurve der Abbildung 4; bei einer Korrelation unter eins liegt ihr linkes Ende links von beiden Aktien, und das ist die ganze Diversifikation in einem Bild. Das Beta einer Aktie liefert STEIGUNG, angewandt auf ihre Renditen und die eines Index, einer Zahl, die den Wert eines festen Korbs vieler Aktien misst, etwa des DAX für die größten deutschen Unternehmen an der Börse. Ein Index funktioniert wie der Preis eines Warenkorbs im Supermarkt: Kostet derselbe Korb heute 103 Euro statt 100 vor einem Jahr, steht ein Preisindex mit dem Startwert 100 bei 103.

Der Engpass

1972 wusste das Fach, wie Risiko gestreut und wie es bezahlt wird, und es hatte den Zufall als Martingal. Eine Frage blieb offen, und sie war die praktischste von allen: Was ist eine Option wert, das Recht, eine Aktie später zu einem heute festgelegten Preis zu kaufen? Samuelson und andere hatten Formeln, aber alle enthielten eine Größe, die niemand kannte, die erwartete Rendite der Aktie oder die Risikoscheu des Käufers; Bachelier hatte die erwartete Rendite einfach gleich null gesetzt. In Chicago bereitete eine Börse den Handel mit genau diesem Recht vor, und drei Ökonomen, die sich am MIT bei Boston kennengelernt hatten, hatten eine Herleitung, in der die unbekannte Größe verschwand.

5. Die Formel: Black, Scholes, Merton und die Derivate (1973–1987)

Die Optionsformel

Das Jahr 1973. Am 26. April 1973 eröffnete die Chicago Board Options Exchange, eine neue Börse nur für Optionen, im Raucherzimmer des Chicago Board of Trade, der Chicagoer Getreidebörse, den ersten geregelten Handel mit standardisierten Aktienoptionen, Optionen mit einheitlichen Bedingungen, die jeder nach den Regeln der Börse kaufen und verkaufen kann: 911 Kontrakte, also Verträge, auf sechzehn Aktien am ersten Tag, alle mit dem Recht zu kaufen.⁶⁷ Eine Option ist, wie in Abschnitt 3, das Recht, nicht die Pflicht, eine Sache bis zu einem Termin zu einem festen Preis zu kaufen oder zu verkaufen. Das Recht zu kaufen heißt Kaufoption, englisch Call, das Recht zu verkaufen Verkaufsoption, englisch Put; der feste Preis heißt Ausübungspreis, das Nutzen des Rechts Ausübung und der letzte Tag, an dem das geht, Verfall. Im Alltag: Zahlt ein Haushalt mit Ölheizung seinem Händler im Sommer 180 Euro dafür, im Winter 3.000 Liter Heizöl zu höchstens 1,00 Euro je Liter kaufen zu dürfen, hat er eine Kaufoption mit dem Ausübungspreis 1,00 Euro. Kostet das Öl im Winter 1,20 Euro, spart er 3.000 · 0,20 = 600 Euro, nach Abzug der 180 Euro also 420 Euro; kostet es 0,90 Euro, kauft er einfach zum Marktpreis. Nimmt ein Händler ein Handy, das 800 Euro gekostet hat, nach zwei Jahren für 300 Euro zurück, ist das eine Verkaufsoption: Bringt das Handy privat nur noch 200 Euro, gibt man es dem Händler. Eine europäische Option kann man nur am Tag des Verfalls ausüben, eine amerikanische an jedem Tag davor. Die Option ist das einfachste Derivat, ein Vertrag, dessen Wert von einem anderen Preis abgeleitet ist. Auch ein Stromtarif mit Preisgarantie ist eines: Garantiert er für 3.000 Kilowattstunden im Jahr 30 Cent je Kilowattstunde und steigt der Marktpreis auf 35 Cent, ist die Garantie 3.000 · 0,05 = 150 Euro im Jahr wert; fällt der Marktpreis auf 25 Cent, kostet sie den Kunden 150 Euro. Im selben Frühjahr erschien im Journal of Political Economy, das den Aufsatz zunächst umgehend abgelehnt hatte,⁶⁸ „The Pricing of Options and Corporate Liabilities“ von Fischer Black und Myron Scholes, und im Bell Journal of Economics Robert Mertons „Theory of Rational Option Pricing“, der die Herleitung verallgemeinerte und ihr den Namen Black-Scholes-Modell gab.⁶⁹ Die Black-Scholes-Formel gibt den Wert einer europäischen Kaufoption aus fünf Größen an: Aktienkurs, Ausübungspreis, Restlaufzeit bis zum Verfall, sicherer Zins und Volatilität. Die erwartete Rendite der Aktie kommt nicht vor, und das war die Entdeckung. Für die Preisobergrenze beim Heizöl heißt das: Steht der Preis heute bei 1,00 Euro je Liter, schwankt er mit 20 Prozent im Jahr und ist der sichere Zins 2 Prozent, ist das Recht, in einem Jahr zu 1,00 Euro zu kaufen, nach der Formel 8,92 Cent je Liter wert, für 3.000 Liter rund 268 Euro; der Kasten „Rechenweg: die Formel mit Zahlen“ weiter unten rechnet es mit denselben Zahlen vor, den Preis von 1,00 Euro als 100 Cent geschrieben.

Die Vorläufer. Neu waren 1973 der geregelte Handel und die Formel, nicht die Verträge. Aristoteles erzählt in seiner Politik von dem Philosophen Thales von Milet, der dank seiner Kenntnis der Sterne eine reiche Olivenernte vorhersah, schon im Winter gegen eine kleine Anzahlung das Recht auf alle Ölpressen in Milet und Chios erwarb und sie zur Ernte, als alle sie zugleich brauchten, teuer weitervermietete: ein Recht, keine Pflicht, gegen einen kleinen Preis vorab, also eine Option.⁷⁰ Joseph de la Vega beschrieb 1688 in Amsterdam, auf Spanisch und in Gesprächen zwischen einem Philosophen, einem Kaufmann und einem Aktionär, in Confusión de confusiones den Handel an der Amsterdamer Börse, mit Kauf- und Verkaufsoptionen und mit Terminkontrakten, Verträgen, eine Sache an einem späteren Tag zu einem heute vereinbarten Preis zu kaufen oder zu verkaufen; es ist die erste Schrift über die Amsterdamer Börse.⁷¹ Vereinbart ein Haushalt im Juni mit seinem Händler, im Oktober 3.000 Liter Heizöl zu 0,95 Euro je Liter abzunehmen, ist das ein Terminkontrakt: Kostet das Öl im Oktober 1,10 Euro, spart er 450 Euro, kostet es 0,85 Euro, zahlt er 300 Euro mehr als nötig, denn anders als bei der Option muss er abnehmen. In Osaka handelten Kaufleute seit 1697 im Viertel Dojima mit Reis, und 1730 erkannte das Shogunat, die Regierung des japanischen Militärherrschers, den Markt an: Die Reisbörse von Dojima hatte Mitglieder, Abrechnungsstellen, die jedes Geschäft für beide Seiten garantierten, und Terminkontrakte auf Reis, bei denen gegen eine Sicherheitsleistung nur der Unterschied zwischen vereinbartem und späterem Preis bezahlt wurde; sie gilt als die erste organisierte Terminbörse der Welt.⁷² Was allen diesen Märkten fehlte, war eine Rechnung für den Preis. Bachelier hatte sie 1900 versucht; Black, Scholes und Merton fanden sie, mit einem Trick.

Der Trick. Warum sie nicht vorkommt, ist das Herz des Fachs. Wer eine Kaufoption verkauft hat, verliert, wenn die Aktie steigt, denn er muss sie dann billiger hergeben, als sie wert ist. Er kann sich dagegen schützen, indem er eine bestimmte Menge der Aktie hält: Steigt der Kurs, gewinnt die Aktie, was die Option ihn kostet; fällt er, verliert die Aktie, aber die verkaufte Option wird billiger, und das gleicht den Verlust aus. Diese Absicherung, englisch Hedging, muss laufend angepasst werden, weil sich die richtige Menge mit dem Kurs ändert, aber wenn man es tut, ist die Kombination aus Option und Aktie ohne Risiko, und was ohne Risiko ist, darf nach dem Arbitrageargument nur den sicheren Zins verdienen. Ein Heizölhändler, der vielen Kunden eine Preisobergrenze verkauft hat, macht es ebenso: Er kauft einen Teil des Öls schon vorher und legt es ins Lager; steigt der Preis, gewinnt das gelagerte Öl, was ihn die Obergrenze kostet. Aus dieser Bedingung folgt mit dem Itô-Kalkül eine Gleichung, die nicht den Optionswert selbst festlegt, sondern wie er sich in jedem Augenblick mit Zeit und Kurs ändert, eine Differentialgleichung, verwandt mit der Gleichung der Wärmeausbreitung, die Bachelier gefunden hatte; ihre Lösung ist die Formel.⁶⁹ Die Anleger dürfen dabei so risikoscheu sein, wie sie wollen; ihr Geschmack fällt aus der Rechnung heraus. Man kann die Option deshalb so bewerten, als ob alle Anleger risikoneutral wären, also nur auf den Erwartungswert achteten und Risiko gleichgültig fänden, und als ob die Aktie nur den sicheren Zins erwarten ließe: Das ist die risikoneutrale Bewertung, der Rechentrick, der seither unter jedem Derivat liegt. Für die Heizöl-Obergrenze heißt das: Ihr Preis hängt nicht davon ab, ob der Händler einen Anstieg für wahrscheinlich hält, sondern nur vom heutigen Preis, vom Ausübungspreis, von der Laufzeit, vom Zins und davon, wie stark der Ölpreis schwankt.

Ein Schritt. Wie die erwartete Rendite verschwindet, zeigt ein Beispiel mit einem einzigen Zeitschritt und einem Zins von null, das der Kasten unter diesem Absatz Schritt für Schritt vorrechnet: Eine Aktie steht bei 100 und in einem Jahr entweder bei 120 oder bei 80, und eine Kaufoption mit Ausübungspreis 100 kostet heute 10, gleich, wie wahrscheinlich der Anstieg ist. Zerlegt man das Jahr in viele solche Schritte, entsteht ein Baum aus Auf und Ab, das Binomialmodell von 1979, und im Grenzfall unendlich vieler Schritte die Formel. Steigt oder fällt der Heizölpreis von 1,00 Euro in jedem von zwei Vierteljahren um 10 Cent, steht er nach einem halben Jahr bei 1,20, 1,00 oder 0,80 Euro, bei einem Zins von null mit den risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten ¼, ½ und ¼; eine Obergrenze von 1,00 Euro zahlt nur im ersten Fall, und für 3.000 Liter ist sie ¼ · 0,20 · 3.000 = 150 Euro wert.

Von der Formel zur Industrie

Die Verallgemeinerung. Das Jahrzehnt danach machte aus der Formel eine Theorie. John Cox, Stephen Ross und Mark Rubinstein zeigten 1979, dass man denselben Preis bekommt, wenn man den Kurs in jedem kleinen Zeitschritt nur steigen oder fallen lässt wie im Kasten oben, ein Baum aus Auf und Ab, der sich auf einem Taschenrechner durchrechnen lässt und bei feineren Schritten der Formel immer näher kommt; das Binomialmodell ist seither das Lehrbuchmodell und das Werkzeug für amerikanische Optionen, die man vorzeitig ausüben darf.⁷³ Michael Harrison, David Kreps und Stanley Pliska bewiesen 1979 und 1981 den Satz, der dahintersteht: Ein Markt ist genau dann frei von Arbitrage, wenn man den möglichen Kursen Wahrscheinlichkeiten zuordnen kann, wie das ½ im Kasten, unter denen jeder abgezinste Preis ein Martingal ist, also im Mittel bleibt, wo er ist; jedes Derivat ist dann der Erwartungswert seiner abgezinsten Auszahlung unter diesen Wahrscheinlichkeiten.⁷⁴ Samuelsons Martingal von 1965 und Blacks Formel von 1973 waren damit dasselbe, gesehen von zwei Seiten. Oldřich Vašíček beschrieb 1977 den Zins selbst als stochastischen Prozess, der um ein langfristiges Niveau schwankt, und begründete das Zinsstrukturmodell, die Klasse von Modellen, mit denen Anleihen und Zinsderivate bewertet werden, Derivate, deren Wert von Zinsen abhängt; David Heath, Robert Jarrow und Andrew Morton gaben 1992 den Rahmen, in dem die ganze Zinskurve zufällig ist, die Zinsen für alle Laufzeiten von einem Tag bis zu dreißig Jahren.⁷⁵ Für einen Haushalt mit Baukredit ist beides greifbar. Die Zinskurve ist die Konditionentabelle der Bank, die etwa 2,0 Prozent für Tagesgeld, 3,0 Prozent für fünf Jahre fest, 3,4 Prozent für zehn und 3,7 Prozent für fünfzehn Jahre nennen könnte. Und wer 240.000 Euro zu 3,5 Prozent mit 1.100 Euro im Monat abzahlt, schuldet nach zehn Jahren noch 182.627 Euro; ob er dann im ersten Jahr der Anschlussfinanzierung rund 3.650 Euro Zinsen zahlt, weil der Zins auf 2 Prozent gefallen ist, oder rund 9.130 Euro, weil er auf 5 Prozent gestiegen ist, ist genau die Unsicherheit, die ein Zinsstrukturmodell beschreibt. Robert Merton hatte schon 1974 gezeigt, dass das Eigenkapital einer verschuldeten Firma eine Kaufoption auf die Firma ist: Die Eigentümer bekommen, was die Firma über ihre Schulden hinaus wert ist, und nichts, wenn sie weniger wert ist als die Schulden, und das ist die Auszahlung einer Kaufoption mit den Schulden als Ausübungspreis. Damit ließen sich auch die Schulden bewerten, und die Option erreichte das Kreditrisiko, das Risiko, dass ein Schuldner nicht zahlt.⁷⁶ Ein Versandhändler, der Kauf auf Rechnung anbietet, trägt es bei jeder Bestellung: Zahlen von 1.000 Kunden mit Rechnungen über je 80 Euro 20 nie, fehlen 1.600 Euro, und er muss 1,60 Euro je Bestellung in seine Preise einrechnen. Den Wert der Firma und seine Volatilität kann man allerdings nirgends ablesen; an der Börse sieht man nur den Wert der Aktien und deren Volatilität, und aus diesen beiden rechnet man die beiden gesuchten zurück, mit der Optionsformel und Itôs Regel als zwei Gleichungen für zwei Unbekannte. So arbeitete später das Kreditmodell der Firma KMV.⁷⁷

Die Industrie. Die Formel traf auf eine Börse, die sie brauchte, und auf Rechner, die sie konnten. Black verkaufte Optionspreise als Tabellen, Händler programmierten die Formel in Taschenrechner, und binnen weniger Jahre stellte der Markt die Preise von Optionen so, als hätte er sie schon immer so bewertet; der Soziologe Donald MacKenzie hat gezeigt, wie die Preise sich der Formel annäherten, nachdem die Händler sie benutzten, nicht davor.⁷⁸ Hayne Leland und Mark Rubinstein gründeten 1980 mit John O’Brien eine Firma, die Pensionsfonds, Kassen, die das Geld für Betriebsrenten anlegen, eine Portfolioversicherung verkaufte. Statt eine Verkaufsoption auf das ganze Portfolio zu kaufen, die es nicht gab, baute man sie nach, zuerst durch Umschichten zwischen Aktien und Bargeld, ab 1982 auch mit Terminkontrakten: Nach der Formel verkaufte man bei fallenden Kursen Aktien oder Terminkontrakte auf einen Aktienindex und kaufte sie bei steigenden zurück.⁷⁹ Im Kleinen sieht das so aus: Ein Depot von 50.000 Euro soll nie unter 45.000 Euro fallen. Der Puffer von 5.000 Euro wird mit vier malgenommen, 20.000 Euro kommen in einen Aktienfonds, 30.000 Euro sicher aufs Festgeld. Fällt der Fonds um 10 Prozent auf 18.000 Euro, ist der Puffer auf 3.000 Euro geschrumpft, im Fonds dürfen nur noch 12.000 Euro liegen, und 6.000 Euro werden verkauft. Das funktioniert, solange man verkaufen kann, während der Kurs fällt; springt er über Nacht, kommt der Verkauf zu spät. Zugleich bekam die Volatilität, die die Formel als bekannt voraussetzt, ihre eigene Mathematik: Robert Engle zeigte 1982 am Beispiel der britischen Inflation, des Anstiegs der Preise, dass sich die Schwankungsbreite einer Zeitreihe, einer Folge von Messwerten über die Zeit, aus ihren vergangenen Schwankungen vorhersagen lässt, ruhige Phasen folgen ruhigen und wilde wilden, und Tim Bollerslev verallgemeinerte das Modell 1986; die Modelle ARCH und GARCH, deren englische Namen für eine Streuung stehen, die von den vorigen Schwankungen abhängt, sind seither die Standardwerkzeuge, um die Volatilität von Märkten zu schätzen.⁸⁰

Der Tausch. Den größten Derivatemarkt schuf ein Geschäft ohne Formel. Im August 1981 vermittelte die Investmentbank Salomon Brothers einen Tausch zwischen der Weltbank und IBM: Die Weltbank übernahm Zahlungen von IBM in Schweizer Franken, IBM dafür Zahlungen der Weltbank in Dollar.⁸¹ Ein Swap ist ein solcher Vertrag, über Jahre Zahlungen zu tauschen; beim Zinsswap zahlt die eine Seite einen festen Zins, die andere einen variablen Zins, der in festen Abständen neu an einen Marktzins angepasst wird, beide auf denselben Betrag, und getauscht werden nur die Zinsen. Hat ein Unternehmen einen Kredit über 200.000 Euro, dessen Zins jedes Jahr an den Marktzins angepasst wird, und schließt es einen Zinsswap ab, in dem es 3 Prozent fest zahlt und dafür den Marktzins bekommt, zahlt es unter dem Strich immer 6.000 Euro im Jahr, ob der Marktzins auf 2 oder auf 5 Prozent geht. Ohne Swap trägt es das Risiko selbst, wie jeder Kreditnehmer mit variablem Zins: Steigt bei einem Kredit über 2.000 Euro der Zins von 12 auf 13,5 Prozent, kosten 30 Tage 22,19 statt 19,73 Euro. Den ersten großen Zinsswap in den USA schlossen 1982 die Studienkreditgesellschaft Sallie Mae und ITT Financial über 100 Millionen Dollar; Ende 1982 standen solche Verträge über 5 Milliarden aus, und 1985 gründeten zehn Händler eine Vereinigung, die heutige ISDA, die die Verträge vereinheitlichte.⁸² Ende 2025 bezogen sich Zinsderivate auf 669,5 Billionen Dollar, vier Fünftel des Nennwerts aller außerhalb der Börsen gehandelten Derivate.⁸³

Der Schwarze Montag und das Lächeln

Der Schwarze Montag. Am 19. Oktober 1987 fiel der Dow Jones, der bekannteste amerikanische Aktienindex, um 508 Punkte oder 22,6 Prozent, der größte Tagesverlust seiner Geschichte, ohne eine Nachricht, die ihn erklärt hätte. Die Kommission unter Nicholas Brady, die den Tag im Januar 1988 untersuchte, machte die Portfolioversicherung zum wichtigsten Grund: Die Programme verkauften, weil die Kurse fielen, die Kurse fielen, weil die Programme verkauften, und knapp ein Zehntel der Aktienverkäufe an der New Yorker Börse und über 40 Prozent des Handels mit Terminkontrakten stammten an diesem Tag aus solchen Programmen.⁸⁴ Die Formel hatte vorausgesetzt, dass man jederzeit zu Kursen ohne Sprünge handeln kann; an diesem Tag sprangen die Kurse, und die nachgebaute Verkaufsoption, die aus laufendem Handel bestand, war keine. Der Markt hat die Lektion in die Preise geschrieben: Seit dem 19. Oktober 1987 sind Verkaufsoptionen mit einem Ausübungspreis weit unter dem aktuellen Kurs, also Versicherungen gegen tiefe Stürze, teurer, als die Formel vorsieht. Rechnet man aus einem Optionspreis zurück, welche Volatilität ihn nach der Formel erklärt, bekommt man die implizite Volatilität, und trägt man sie gegen den Ausübungspreis auf, entsteht seit 1987 eine schiefe Kurve, das Volatilitätslächeln (Abbildung 6, nach der Formel weiter unten): Der Markt bezahlt für Schutz vor Abstürzen einen Aufschlag, den das Modell nicht kennt, weil der Markt Mandelbrots schwere Ränder kennt.⁸⁵ Verlangt ein Heizölhändler für die Obergrenze aus dem Beispiel oben nicht 8,92, sondern 12 Cent je Liter, rechnet er, nach der Formel zurückgerechnet, mit einer Volatilität von 27,9 statt 20 Prozent.

Das Lächeln. Die Theorie antwortete auf das Lächeln, indem sie eine Annahme der Formel nach der anderen lockerte. Merton hatte schon 1976 Kurssprünge eingebaut, plötzliche Bewegungen, wie sie der Oktober 1987 dann zeigte.⁸⁶ Steven Heston gab 1993 eine Formel für den Fall, dass die Volatilität selbst zufällig schwankt und mit dem Kurs zusammenhängt, und Bruno Dupire, Emanuel Derman mit Iraj Kani und Mark Rubinstein zeigten 1994 unabhängig voneinander, wie man eine Volatilität, die von Kurs und Zeit abhängt, so aus den Marktpreisen errechnet, dass das Modell alle Optionen zugleich richtig bewertet.⁸⁷ Patrick Hagan und Kollegen wandten 2002 ein, dass dieses Modell das Lächeln mit dem Kurs in die falsche Richtung wandern lässt, und schlugen ein Modell mit zufälliger Volatilität vor, das unter dem Kürzel SABR bekannt wurde.⁸⁸ Seither passt man Modelle an die Preise des Marktes an, statt die Preise aus einem Modell vorherzusagen.

Der Preis. Am 16. Oktober 1990 bekamen Markowitz, Miller und Sharpe den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften, 1997 Merton und Scholes; Fischer Black war 1995 gestorben, und der Preis wird nicht nach dem Tod verliehen.⁸⁹ Die Begründung der Akademie nannte „eine neue Methode zur Bestimmung des Wertes von Derivaten“, und die Methode hatte zu diesem Zeitpunkt einen Markt geschaffen, dessen Nennwerte, die Beträge, auf die sich die Verträge beziehen, die Aktienmärkte übertrafen. Die Fußnote der Geschichte ist, dass Scholes und Merton 1997 im Verwaltungsrat eines Hedgefonds saßen, eines Fonds, also einer gemeinsamen Kasse für das Geld vieler Anleger, der mit wenigen Beschränkungen und viel geliehenem Geld handelt, und dass dieser Fonds ein Jahr später zeigen würde, was die Methode nicht kann.

Nachrechnen und üben

Selbst ausprobieren. Die Formel steht in jeder Tabellenkalkulation in fünf Zellen. Mit Kurs S, Ausübungspreis K, Laufzeit T in Jahren, Zins r und Volatilität σ ist d1 =(LN(S/K)+(r+σ^2/2)*T)/(σ*WURZEL(T)), d2 =d1-σ*WURZEL(T) und der Wert der Kaufoption =S*NORM.S.VERT(d1;1)-K*EXP(-r*T)*NORM.S.VERT(d2;1); statt der Buchstaben schreibt man die Zellen, in denen die Zahlen stehen. EXP(x) ist e hoch x, und EXP(-r*T), e hoch minus r mal T, ist der Faktor, mit dem man bei stetiger Verzinsung über T Jahre abzinst. NORM.S.VERT(x;1), kurz N(x), ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallszahl mit Erwartungswert null und Standardabweichung eins kleiner als x ist. Der Kasten unter diesem Absatz rechnet die Formel für S = K = 100, T = 1, r = 2 Prozent und σ = 20 Prozent durch und kommt auf 8,92 (Abbildung 5; dort lassen sich Volatilität und Laufzeit mit Schiebern ändern und aus einem Marktpreis die implizite Volatilität zurückrechnen). Wer dann in der Optionsliste eines Wertpapierhändlers die Preise von Verkaufsoptionen mit verschiedenen Ausübungspreisen aufruft und für jeden die Volatilität sucht, die den Preis trifft, sieht das Lächeln selbst: Die Zahl steigt, je weiter der Ausübungspreis unter dem Kurs liegt.

Der Engpass

1987 hatte das Fach die Preise der einzelnen Risiken und eine Industrie, die sie handelte. Was es nicht hatte, war ein Maß für die Summe: Wie viel kann eine Bank, die zehntausend Positionen, also einzelne Geschäfte und Bestände, in hundert Märkten hält, an einem schlechten Tag verlieren, und wie viel Eigenkapital muss sie dafür halten? Die Aufseher, die Behörden, die über die Banken wachen, arbeiteten schon seit der Schuldenkrise Lateinamerikas von 1982 an Regeln für das Eigenkapital; nach dem Kurssturz stellten sie die Frage lauter, und die Antwort, die kam, war eine einzige Zahl, die das Fach ein Jahrzehnt lang beruhigte.

6. Risiko, Kredit und die Krise (1988–2023)

Aufsicht und Value at Risk

Die Aufsicht. Die erste Antwort kam von den Banken der Staaten. Eine Zentralbank ist die Bank eines Staates oder einer Währung, die das Geld ausgibt, den Zins für die Banken setzt und oft über sie wacht, in Deutschland die Bundesbank, für den Euro die Europäische Zentralbank. Erhöht die Zentralbank ihren Zins um 0,5 Prozentpunkte und gibt eine Bank davon 0,3 Punkte an ihre Kunden weiter, bringen 20.000 Euro auf dem Tagesgeldkonto 60 Euro mehr im Jahr. Der Basler Ausschuss für Bankenaufsicht, in dem die Aufseher der großen Industrieländer sitzen, verabschiedete im Juli 1988 die erste Eigenkapitalvereinbarung, nach dem Sitz des Ausschusses Basel I genannt: Jede international tätige Bank muss Eigenkapital in Höhe von acht Prozent ihrer Aktiva halten, gewichtet nach deren Risiko. Aktiva ist das, was eine Bank besitzt, vor allem ihre Kredite, und ein Risikogewicht gibt an, wie viel von einem Kredit zählt: null für Staaten der OECD, der Organisation der großen Industrieländer, die Hälfte für eine Hypothek, einen Kredit für ein Haus, den das Haus selbst sichert, und alles für Kredite an Firmen.⁹⁰ Wer einer Firma 100 Millionen leiht, braucht also 8 Millionen Eigenkapital, wer 100 Millionen für Häuser verleiht, 4 Millionen; der Kasten unter diesem Absatz rechnet es für eine ganze Bank vor. Im Kleinen: Leiht eine Bank einem Handwerksbetrieb 20.000 Euro, muss sie nach Basel I 1.600 Euro eigenes Geld dafür halten, leiht sie einem Haushalt 20.000 Euro für ein Haus, nur 800 Euro; weil Eigenkapital für die Bank teuer ist, kann sie den Kredit für das Haus auch deshalb billiger anbieten. Der Baukredit aus Abschnitt 5 ist eine Hypothek: Kauft ein Haushalt ein Haus für 300.000 Euro mit 60.000 Euro eigenem Geld, leiht er sich 240.000 Euro, und das Haus haftet dafür; zahlt er nicht, kann die Bank es verwerten. Bei 3,5 Prozent Zins und 2 Prozent Tilgung zahlt er 240.000 · 0,055 / 12 = 1.100 Euro im Monat. Basel I regelte nur das Kreditrisiko, war grob und leicht zu umgehen, aber es war das erste Mal, dass Risiko weltweit in einer Zahl gemessen und mit Eigenkapital abgesichert wurde. Die Neufassung vom Juni 2004, Basel II, erlaubte den großen Banken, die Risikogewichte mit eigenen Modellen zu schätzen, und machte die Aufsicht damit von genau den Modellen abhängig, die sie beaufsichtigen sollte.⁹⁰

Die Zahl. Die zweite Antwort kam von einer Bank. Dennis Weatherstone, ab 1990 Vorstandschef von J.P. Morgan, verlangte um 1990 jeden Tag um 16:15 Uhr, eine Viertelstunde nach Börsenschluss, eine Seite, die ihm sagte, wie viel die Bank über alle Handelsabteilungen hinweg am nächsten Tag verlieren könnte; die Risikoabteilung machte dafür aus älteren Ideen den Value at Risk⁹¹, wörtlich den Wert im Risiko: den Verlust, der an einem Tag mit einer Wahrscheinlichkeit von, sagen wir, 99 Prozent nicht überschritten wird, berechnet aus den Volatilitäten und Korrelationen aller Positionen.⁹² Wie man ihn für eine einzelne Position ausrechnet, zeigt der Kasten unter diesem Absatz: Bei 10 Millionen Euro in einem Aktienindex, der am Tag um ein Prozent schwankt, sind es 233.000 Euro für einen Tag und 737.000 Euro für die zehn Handelstage, die der Basler Ausschuss 1996 vorschrieb.⁹³ Für ein privates Depot von 50.000 Euro, das am Tag um 1 Prozent schwankt, ist der Value at Risk zu 99 Prozent 2,33 · 500 = 1.165 Euro für einen Tag und 1.165 · √21 = 5.339 Euro für einen Monat mit 21 Handelstagen: Im Mittel an einem von hundert Tagen verliert der Besitzer mehr als 1.165 Euro. Im Oktober 1994 veröffentlichte die Bank die Methode unter dem Namen RiskMetrics samt kostenlosen Daten für mehrere hundert Marktgrößen, und binnen weniger Jahre war die Zahl der Standard der Branche und der Aufsicht, die sie 1996 für die Berechnung des Eigenkapitals zuließ.

Der Einwand. Vier Mathematiker, Philippe Artzner, Freddy Delbaen, Jean-Marc Eber und David Heath, zeigten 1999, was am Value at Risk falsch ist. Er sagt nichts darüber, wie groß der Verlust ist, wenn die Schwelle überschritten wird, und er kann für zwei zusammengelegte Portfolios größer sein als die Summe der Einzelwerte, was Streuung bestraft statt belohnt; der Kasten unter diesem Absatz zeigt es an zwei Anleihen. Sie stellten vier Bedingungen auf, die ein vernünftiges Risikomaß erfüllen muss, darunter genau diese: Das Risiko zweier Portfolios zusammen darf nie größer sein als die Summe ihrer einzelnen Risiken. Maße, die alle vier erfüllen, nannten sie kohärent, also in sich stimmig; der Expected Shortfall, der erwartete Fehlbetrag, ist der Durchschnitt der Verluste in den schlimmsten Fällen, etwa dem schlimmsten einen Prozent, und er ist kohärent, wie Carlo Acerbi und Dirk Tasche 2002 für alle Verteilungen bewiesen (Abbildung 7).⁹⁴ Für das Depot von 50.000 Euro sagt der Value at Risk nur, dass an einem von hundert Tagen mehr als 1.165 Euro verloren gehen; der Expected Shortfall sagt, wie viel an diesen schlechten Tagen im Mittel verloren geht, bei normalverteilten Kursen rund 1.333 Euro. Es dauerte siebzehn Jahre und eine Krise, bis die Aufsicht ihn übernahm.

Der Fonds und der Hebel: LTCM

Der Fonds. Dass die schönste Theorie den Markt nicht bändigt, zeigte 1998 der Fonds, in dem die Theorie saß. Long-Term Capital Management, 1994 von John Meriwether gegründet, mit Merton und Scholes im Verwaltungsrat, setzte auf kleine Preisunterschiede zwischen fast gleichen Wertpapieren, etwa einer frisch ausgegebenen und einer ein halbes Jahr alten amerikanischen Staatsanleihe, und vergrößerte die winzigen Gewinne mit einem Hebel, dem Verhältnis von geliehenem Geld, dem Fremdkapital, zu eigenem, das Anfang 1998 bei rund 25 zu eins lag. Auch das Haus aus dem Absatz über die Arbitrage in Abschnitt 4, gekauft mit 80.000 Euro eigenem Geld und 320.000 Euro Kredit, hat einen Hebel, vier zu eins; fällt der Hauspreis um 20 Prozent, ist das Eigenkapital ganz weg. Bei einem Hebel von 25 zu eins genügte ein Verlust von knapp 4 Prozent auf alle Positionen, um das ganze eigene Geld aufzuzehren, wie der Kasten unter diesem Absatz vorrechnet. Nachdem Russland im August 1998 seine Schulden nicht mehr bezahlte, bewegten sich alle Positionen gleichzeitig in die falsche Richtung, weil alle Anleger gleichzeitig in die sichersten Papiere flohen: Korrelationen, die in den Daten der Vergangenheit klein gewesen waren, wurden eins. Der Fonds verlor in weniger als vier Monaten 4,6 Milliarden Dollar, und am 23. September 1998 organisierte die Federal Reserve Bank of New York, die New Yorker Abteilung der amerikanischen Zentralbank, eine Rettung durch vierzehn Banken und Brokerhäuser mit 3,625 Milliarden Dollar, aus Sorge, der Notverkauf aller Positionen würde das Finanzsystem, die Gesamtheit der Banken und Märkte, mitreißen.⁹⁵ Die Lektion, die Mandelbrot 1963 und der Oktober 1987 schon erteilt hatten, stand nun in Zahlen: Die Modelle waren richtig in normalen Zeiten, und die Zeiten, in denen man sie brauchte, waren nicht normal.

Kredite, Tranchen und die Krise von 2008

Die Punktzahl. Ehe die Mathematik die großen Kredite erreichte, hatte sie die kleinen erreicht. David Durand untersuchte 1941 für das National Bureau of Economic Research, ein amerikanisches Forschungsinstitut, Kredite an Verbraucher, die in festen Raten zurückgezahlt werden. Er teilte eine Stichprobe, eine Auswahl von Krediten, in gute, die zurückgezahlt worden waren, und schlechte, bei denen das nicht geschehen war, und suchte die Merkmale, die beide Gruppen trennen: Eine feste Arbeit, eine feste Wohnung, eigener Besitz und eine hohe Anzahlung waren bei den guten Krediten häufiger. Daraus machte er Formeln, die jedem Merkmal ein Gewicht geben, so dass die gewichtete Summe, eine einzige Kennzahl, die beiden Gruppen möglichst gut voneinander trennt.⁹⁶ Der Ingenieur Bill Fair und der Mathematiker Earl Isaac gründeten 1956 eine Firma, die solche Formeln an Banken und Händler verkaufte, und 1989 brachte sie die erste allgemeine Punktzahl heraus, den FICO-Score, der aus den Daten der Auskunfteien, der Firmen, die über die Kredite der Verbraucher Buch führen, eine Zahl zwischen 300 und 850 macht: je höher, desto geringer das Risiko.⁹⁷ Dieses Kreditscoring, die Bewertung der Kreditwürdigkeit mit einer Punktzahl, entscheidet seither in den Vereinigten Staaten mit darüber, wer einen Kredit bekommt und zu welchem Zins. Eine ausgedachte Punktetabelle zeigt das Prinzip: feste Stelle seit mehr als zwei Jahren 30 Punkte, seit mehr als drei Jahren dieselbe Adresse 20 Punkte, ein Girokonto ohne Rückstände 25 Punkte, eine Anzahlung von mehr als einem Fünftel 15 Punkte, und ab 60 Punkten gibt es den Ratenkredit. Echte Verfahren verwenden mehr Merkmale, und die Gewichte schätzt man wie Durand aus alten Krediten.

Der Kredit. Die Mathematik erreichte in den 1990er Jahren den größten Markt, den der Schulden. Merton hatte 1974 den Ausfall einer Firma, ihre Zahlungsunfähigkeit, als Ereignis beschrieben, das eintritt, wenn ihr Wert unter ihre Schulden fällt; Robert Jarrow und Stuart Turnbull beschrieben den Ausfall 1995 stattdessen als zufälliges Ereignis mit einer Ausfallrate, einer Wahrscheinlichkeit je Jahr, die sich aus Marktpreisen schätzen lässt, und Darrell Duffie und Kenneth Singleton bauten das 1999 zu einem allgemeinen Rahmen aus.⁹⁸ Hat ein Schuldner eine Ausfallrate von 2 Prozent im Jahr, zahlt er fünf Jahre lang mit der Wahrscheinlichkeit 0,98⁵ = 0,904 durch; von 100 solchen Krediten fallen in fünf Jahren also rund 10 aus. Damit ließ sich das Kreditderivat bewerten, ein Vertrag, dessen Zahlung vom Ausfall eines Schuldners abhängt, allen voran der Credit Default Swap, kurz CDS, eine Versicherung gegen den Ausfall einer Anleihe: Der Käufer zahlt jedes Jahr eine Prämie und bekommt seinen Verlust ersetzt, wenn der Schuldner ausfällt. Wer für den Kredit eines Freundes über 10.000 Euro bürgt, hat im Grunde einen CDS verkauft, meist ohne Prämie: Fällt der Freund mit der Wahrscheinlichkeit 3 Prozent im Jahr aus und ist dann nichts zu holen, wären 300 Euro im Jahr eine faire Prämie für dieses Risiko. Das ausstehende Volumen, der Betrag aller laufenden Verträge, lag Ende 2007 bei 62 Billionen Dollar, mehr als alle Aktienmärkte der Welt zusammen.⁹⁹ Die Frage, an der die Theorie scheiterte, war die nach dem Zusammenhang: Wie wahrscheinlich ist es, dass zwei, hundert, tausend Schuldner gemeinsam ausfallen? David X. Li, Aktuar bei J.P. Morgan, schlug 2000 eine Antwort vor, die so elegant war, dass die Branche sie übernahm, bevor sie sie prüfte: eine Kopula, eine Funktion, die die Ausfallwahrscheinlichkeiten einzelner Schuldner zu einer gemeinsamen Verteilung verbindet, und zwar die Gauß-Kopula, benannt nach der Glockenkurve, die auch Gaußsche Kurve heißt, mit einer einzigen einstellbaren Zahl für die Korrelation, die man aus den Preisen der Kreditderivate ablesen konnte.¹⁰⁰ Wie viel diese eine Zahl ausmacht, zeigt eine Bürgschaft für drei Freunde, von denen jeder mit der Wahrscheinlichkeit 5 Prozent ausfällt: Sind ihre Ausfälle unabhängig, fallen alle drei nur mit der Wahrscheinlichkeit 0,05³, 1 zu 8.000, gemeinsam aus; arbeiten alle drei bei derselben Firma und hängen ihre Ausfälle über eine Gauß-Kopula mit der Korrelation 0,6 zusammen, sind es 1 zu 130.

Die Tranchen. Banken bündelten viele Hypotheken zu Wertpapieren, deren Zahlungen aus den Raten der Hausbesitzer kommen, den Hypothekenpapieren. Bündelt eine Bank 1.000 Baukredite über je 200.000 Euro und verkauft das Bündel als Wertpapier, bekommen die Käufer die Zinsen und Tilgungen der 1.000 Haushalte, und die Bank hat das Geld für neue Kredite. Mit dieser einen Zahl ließen sich Pakete aus hunderten Anleihen, Krediten und solchen Hypothekenpapieren bewerten, die die Banken bündelten und als Wertpapiere verkauften, in Tranchen geschnitten, Schichten mit verschiedenem Rang: Die unterste trägt die ersten Ausfälle, die oberste erst, wenn alle darunter aufgebraucht sind. Dasselbe Prinzip kennt jeder Gläubiger mit Rang: Haben eine Bank 200.000 Euro mit Vorrang und ein Verwandter 60.000 Euro nachrangig für ein Haus geliehen, und bringt der Verkauf nach einem Ausfall 230.000 Euro, bekommt die Bank alles, der Verwandte 30.000 Euro, die Hälfte, und der Eigentümer nichts. Die Ratingagenturen, Firmen, die die Sicherheit von Schuldnern mit Noten von AAA, der besten, abwärts bewerten, gaben der obersten Tranche die beste Note, weil das Modell sagte, dass nicht alle gleichzeitig ausfallen (Abbildung 8).

Die Krise. Sie fielen gleichzeitig aus. Die Korrelation, die aus wenigen Jahren steigender Häuserpreise geschätzt war, galt für fallende nicht, und als die amerikanischen Hauspreise 2006 nicht mehr stiegen und ab 2007 fielen, verloren Tranchen, die als so sicher wie Staatsanleihen bewertet waren, den größten Teil ihres Wertes. Am 15. September 2008 beantragte die Bank Lehman Brothers mit über 600 Milliarden Dollar Vermögen den größten Konkurs der amerikanischen Geschichte, die größte Zahlungsunfähigkeit, und die Banken der Welt stellten fest, dass niemand wusste, wer wem wie viel aus welchen Verträgen schuldete.¹⁰¹ Felix Salmon nannte Lis Formel am 23. Februar 2009 in der Zeitschrift Wired „die Formel, die die Wall Street tötete“, also die New Yorker Finanzwelt, was ungerecht gegen die Formel war und gerecht gegen ihren Gebrauch: Li selbst hatte gewarnt, dass die wenigsten Anwender verstünden, was sie annahmen.¹⁰² Das Wort für diese Art des Scheiterns ist Modellrisiko: der Verlust, der nicht daraus entsteht, dass der Markt sich bewegt, sondern daraus, dass das Modell, mit dem man ihn gemessen hat, falsch war, und zwar genau dann, wenn alle dasselbe Modell benutzen. Im Kleinen kennt es jeder, der fürs Alter plant: Wer 30 Jahre lang jeden Monat 300 Euro spart und mit 7 Prozent Rendite rechnet, erwartet 365.991 Euro; bringt das Geld nur 4 Prozent, sind es 208.215 Euro, fast 158.000 Euro weniger, und die Lücke zeigt sich erst, wenn es zu spät ist.

Die Lehren. Die Aufsicht antwortete mit Mathematik auf die Mathematik. Basel III, im Dezember 2010 beschlossen, verlangte mehr und besseres Eigenkapital, eine Grenze für die Verschuldung, die ohne Risikogewichte auskommt, und Regeln für die Liquidität, die Fähigkeit, Zahlungen jederzeit leisten zu können, weil man genug Bargeld oder schnell verkäufliche Wertpapiere hat; die Neufassung der Regeln für das Handelsbuch, die Positionen, mit denen eine Bank handelt, vom Januar 2016 sieht vor, den Value at Risk durch den Expected Shortfall zu ersetzen, berechnet für eine schwere Krisenzeit, siebzehn Jahre nach Artzner; in Kraft ist das im Oktober 2026 weder in der EU noch in Großbritannien noch in den USA.¹⁰³ Liquidität ist auch im Haushalt etwas anderes als Vermögen: Wer 60.000 Euro in einem Fonds hat, aber ein leeres Girokonto, und eine Autoreparatur über 2.000 Euro sofort zahlen muss, nimmt den Dispokredit in Anspruch, der bei 12 Prozent Zins für zwei Monate rund 40 Euro kostet; reich, aber nicht flüssig, das ist der Grund für eine Rücklage auf dem Tagesgeldkonto. Für die Versicherungen in der Europäischen Union gilt seit dem 1. Januar 2016 Solvency II, eine Richtlinie, also ein europäisches Gesetz, das die Staaten in ihr Recht übernehmen: Jede Versicherung muss so viel Eigenkapital halten, dass sie die Verluste eines Jahres mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,5 Prozent übersteht, ein Value at Risk über ein Jahr; Lundbergs Frage nach dem Ruin aus Abschnitt 2 ist damit Pflicht geworden.¹⁰⁴ In den USA verlangten die Federal Reserve, die Zentralbank, und die Bankaufsicht OCC 2011, dass Stellen jedes Modell prüfen, die es weder gebaut haben noch benutzen, und das Wort Modellrisiko bekam Richtlinien, Ausschüsse und Stellen.¹⁰⁵ Was blieb, war die Grundfrage, die Mandelbrot, LTCM und die Kopula gemeinsam gestellt hatten: Jedes Modell schätzt die Zukunft aus der Vergangenheit, und die Ereignisse, gegen die man sich schützen will, sind die, für die es keine Vergangenheit gibt.

Zinsen nach der Krise

Der Preis des Gegenübers. Die Krise zerbrach auch eine Gewohnheit, die so selbstverständlich war, dass niemand sie für eine Annahme hielt. Die Banken zinsten künftige Zahlungen mit dem LIBOR ab, dem Zins, zu dem sich Banken in London für drei Monate Geld leihen und von dem Abschnitt 7 mehr erzählt, als wäre er sicher. Sicherer ist ein Overnight Indexed Swap, ein Vertrag, in dem zwei Banken Zinszahlungen tauschen: Die eine zahlt einen festen Satz, die andere den Übernachtsatz, den Zins für Geld, das Banken einander für eine einzige Nacht leihen, über die Laufzeit aufgezinst. Weil zu Beginn kein Geld fließt und am Ende nur der Unterschied, kann dabei kaum etwas verloren gehen. Der Abstand zwischen dem LIBOR und dem festen Satz eines solchen Swaps über drei Monate misst deshalb, wie sehr die Banken einander misstrauen: Vor August 2007 lag er bei rund 0,1 Prozentpunkten, am 10. Oktober 2008 bei 3,65.¹⁰⁶ Am 17. Juni 2010 kündigte LCH.Clearnet an, ein Clearinghaus, eine Stelle, die sich bei jedem Geschäft zwischen Käufer und Verkäufer stellt und für beide einsteht, die Zinsswaps über 218 Billionen Dollar in seinem Dienst SwapClear ab dem 29. Juni nicht mehr mit dem LIBOR abzuzinsen, sondern mit den Sätzen der Overnight Indexed Swaps; die Branche folgte.¹⁰⁷ Zugleich bekam das Gegenparteirisiko einen Preis, das Risiko, dass die andere Seite eines Vertrags ausfällt, bevor sie gezahlt hat. Hat ein Haushalt im Juni einen Festpreis für Heizöl vereinbart, der im Oktober 450 Euro wert ist, weil das Öl auf 1,10 Euro gestiegen ist, sind die 450 Euro nur sicher, wenn der Händler bis dahin nicht pleitegeht; ebenso ist eine Anzahlung an einen Handwerker verloren, wenn er vor der Arbeit zahlungsunfähig wird. Die CVA, nach dem englischen credit valuation adjustment, ist der Abschlag vom Wert eines Derivats, der dieses Risiko ausdrückt, nach dem Basler Ausschuss für Bankenaufsicht „der Preis des Gegenparteirisikos“. Fällt der Heizölhändler mit der Wahrscheinlichkeit 2 Prozent aus und ist dann nichts zu holen, ist der Festpreis im Wert von 450 Euro 0,02 · 450 = 9 Euro weniger wert, bei 5 Prozent 22,50 Euro weniger; diese 9 oder 22,50 Euro sind die CVA. Nach dessen Auswertung stammten in der Krise rund zwei Drittel der Verluste aus Gegenparteirisiko nicht aus Ausfällen, sondern aus wachsenden Abschlägen, weil Ausfälle wahrscheinlicher wurden, und nur etwa ein Drittel aus tatsächlichen Ausfällen. Basel III verlangt deshalb Eigenkapital auch gegen Schwankungen der CVA; die Regeln dafür legte der Ausschuss am 1. Juni 2011 fest und fasste sie 2020 neu, nach dem Zeitplan des Ausschusses gültig ab dem 1. Januar 2023, in der EU seit dem 1. Januar 2025 (Kasten unten).¹⁰⁸

Die Zinsen nach der Krise. Nach der Krise sanken die Zinsen weiter, bis unter null. Ein negativer Zins heißt: Wer Geld anlegt, bekommt weniger zurück, als er gegeben hat. Verlangt eine Bank 0,5 Prozent im Jahr auf alles über 50.000 Euro, kostet ein Guthaben von 100.000 Euro 250 Euro im Jahr. Die schwedische Zentralbank verlangte ab dem 8. Juli 2009 als erste 0,25 Prozent für Geld, das Banken bei ihr anlegten, und Dänemark folgte 2012.¹⁰⁹ Die Europäische Zentralbank senkte ihren Einlagesatz, den Zins für Geld, das Banken über Nacht bei ihr parken, am 11. Juni 2014 auf −0,10 Prozent und bis September 2019 auf −0,50 Prozent; die Schweiz ging 2015 auf −0,75 Prozent, Japan 2016 auf −0,1 Prozent.¹¹⁰ Dazwischen lag die Eurokrise, in der Anleger an der Zahlungsfähigkeit Griechenlands und anderer Staaten des Euroraums zweifelten: Griechenland bekam 2010 Hilfen über 110 Milliarden Euro und 2012 einen Schuldenschnitt von 53,5 Prozent des Nennwerts, und am 26. Juli 2012 versprach der Präsident der EZB, Mario Draghi, in London, „alles zu tun, was nötig ist“, um den Euro zu erhalten; im September kündigte die Bank an, Anleihen solcher Staaten unter Bedingungen ohne Obergrenze zu kaufen.¹¹¹ Die Rendite zehnjähriger Bundesanleihen fiel im Juni 2016 erstmals unter null, und am 13. Juli 2016 verkaufte der Bund eine zehnjährige Anleihe mit null Prozent Kupon zu einer Durchschnittsrendite von −0,05 Prozent: Die Käufer zahlten mehr als 100 und bekamen zehn Jahre später 100 zurück.¹¹² Mit negativen Zinsen versagte auch eine Formel, denn das übliche Modell für Zinsoptionen setzt positive Zinsen voraus; am Markt setzte sich für sie das Modell Bacheliers durch, das negative Werte zulässt.¹¹³

Die Zinswende. Dann kehrte die Inflation zurück, der Anstieg der Preise im Durchschnitt, gemessen an einem Korb von Waren und Leistungen: Im Oktober 2022 lagen die Preise im Euroraum um 10,6 Prozent über dem Vorjahr, in Deutschland stiegen sie im Mittel des Jahres 2022 um 6,9 Prozent.¹¹⁴ Ein Einkauf, der 100 Euro kostete, kostet bei 6,9 Prozent Inflation ein Jahr später 106,90 Euro, und 1.000 Euro unter der Matratze kaufen nur noch so viel, wie vorher 1.000 / 1,069 = 935,45 Euro kauften. Irving Fisher hatte 1896 gezeigt, wie Zins und Geldwert zusammenhängen: Der Nominalzins, der Zins in Geld, ist ungefähr der Realzins, der Zuwachs an Kaufkraft, plus die Inflation, genau (1 + Nominalzins) = (1 + Realzins) · (1 + Inflation); ein Nullzins bei zehn Prozent Inflation ist real ein Verlust von 9 Prozent.¹¹⁵ Bringt das Tagesgeld 3 Prozent bei 2 Prozent Inflation, ist der Realzins 1,03 / 1,02 − 1 = 0,98 Prozent; kostet ein Baukredit 4 Prozent bei 3 Prozent Inflation, ist er real nur 0,97 Prozent teuer, denn die Schuld verliert jedes Jahr an Wert. Die amerikanische Notenbank erhöhte ihren Zins ab März 2022, die EZB am 21. Juli 2022 um 0,50 Prozentpunkte, und bis September 2023 stieg ihr Einlagesatz auf 4,00 Prozent, die Rendite zehnjähriger Bundesanleihen im Oktober 2023 auf 2,99 Prozent; 2024 und 2025 senkte die EZB den Satz bis auf 2,00 Prozent, 2026 erhöhte sie ihn wieder, seit dem 16. September 2026 auf 2,50 Prozent.¹¹⁶ Steigende Zinsen senken den Kurs laufender Anleihen, um so mehr, je länger ihre Duration ist, und das traf Anleger, die sich sicher fühlten. Britische Pensionsfonds hatten lange Staatsanleihen auf Kredit gekauft; nach dem Haushaltsplan der Regierung vom 23. September 2022 stieg die Rendite dreißigjähriger Anleihen in wenigen Tagen um 1,6 Prozentpunkte, die Fonds mussten Sicherheiten nachschießen, also ihren Kreditgebern zusätzlich Geld oder Wertpapiere als Pfand hinterlegen, und dafür Anleihen verkaufen, was die Kurse weiter drückte, bis die Bank of England am 28. September eingriff und bis Mitte Oktober Anleihen für 19,3 Milliarden Pfund kaufte.¹¹⁷ Die Silicon Valley Bank in Kalifornien hatte die Einlagen ihrer Kunden in Anleihen mit einer mittleren Duration von 5,7 Jahren angelegt; Ende 2022 hatten diese mehr als 17 Milliarden Dollar an Wert verloren, mehr als ihr Eigenkapital von 16 Milliarden, und als sie am 8. März 2023 Anleihen mit 1,8 Milliarden Verlust verkaufte, zogen Kunden am nächsten Tag über 40 Milliarden ab; am 10. März wurde sie geschlossen.¹¹⁸ Die Rechner unter dem Kasten „Zum Nachrechnen: Staatsanleihen heute“ am Ende dieses Abschnitts wenden Macaulays Duration und die übrigen Formeln auf Bundesanleihen an.

Nachrechnen und üben

Selbst ausprobieren. Der Value at Risk ist in einer Tabellenkalkulation eine Zeile. Man lädt die Tageskurse eines Index über ein Jahr, bildet die 250 Tagesrenditen und fragt mit =QUANTIL(B2:B251;0,01) nach dem Quantil zu einem Prozent, dem Wert, den nur ein Prozent der Tage unterschritten hat; B2:B251 ist der Bereich der Zellen mit den Renditen. Das ist der historische Value at Risk zu 99 Prozent, als Rendite ausgedrückt. Der Expected Shortfall ist der Durchschnitt der zwei oder drei schlechtesten Tage. Dann rechnet man dasselbe mit der Normalverteilung, =MITTELWERT(B2:B251)-2,33*STABW(B2:B251), und vergleicht: In fast jedem Jahr liegt der wirkliche schlechteste Tag deutlich unter dem, was die Glockenkurve erwartet, und wer 2008 oder 2020 in den Daten hat, sieht Mandelbrots schwere Ränder mit bloßem Auge.

Der Engpass

2009 hatte das Fach seine Grenzen kennengelernt und sie in Regeln gegossen. Zugleich war etwas anderes gewachsen, leiser als die Krise: die Menge der Daten und die Geschwindigkeit, mit der Maschinen darauf handelten. Die Formeln der Epoche waren für Menschen gemacht, die sie verstehen und in Modelle einsetzen; die nächste Epoche gehörte Programmen, die ohne Formel aus den Daten lernen und dabei schneller werden als jeder, der sie beaufsichtigt.

7. Faktoren, Maschinen und Daten (1988–2022)

Faktoren und Medallion

Die Faktoren. Das CAPM hatte eine Prüfung nicht bestanden. Eugene Fama und Kenneth French zeigten im Juni 1992, dass das Beta die Unterschiede in den Aktienrenditen der Jahre 1963 bis 1990 kaum erklärt, zwei andere Größen aber sehr wohl: Kleine Firmen und billige Firmen hatten dauerhaft mehr verdient als große und teure. Billig heißt dabei ein niedriger Kurs im Verhältnis zum Buchwert, dem Wert des Eigenkapitals in der eigenen Rechnung des Unternehmens, also seinem Vermögen abzüglich der Schulden.¹¹⁹ 1993 bauten sie daraus das Dreifaktormodell, in dem die Rendite einer Aktie an drei Größen hängt, dem Markt, der Größe und dem Wert, und jede dieser Größen ist ein Faktor: ein gemeinsamer Einfluss, der viele Wertpapiere zugleich bewegt und für dessen Tragen der Markt eine Prämie zahlt. Für einen Sparer heißt das etwa: Mischt er zu einem weltweiten Aktienfonds einen Fonds, der nur billige Unternehmen kauft, setzt er auf den Faktor Wert. Bringt der Markt 6 Prozent im Jahr, werden aus 10.000 Euro in zehn Jahren 17.908 Euro; zahlt der Faktor 2 Prozentpunkte Prämie, sind es 21.589 Euro, liegt er ein Jahrzehnt lang 2 Punkte zurück, nur 14.802 Euro. Narasimhan Jegadeesh und Sheridan Titman fanden im selben Jahr, dass Aktien, die in den letzten Monaten gestiegen sind, im nächsten halben Jahr weiter steigen, ein Momentum, ein Schwung, der in einem effizienten Markt nicht existieren dürfte und den Mark Carhart 1997 als vierten Faktor hinzunahm.¹²⁰ Wer nach einer Liste der Aktien kauft, die in den letzten sechs Monaten am stärksten gestiegen sind, setzt auf Momentum. Fischer Black und Robert Litterman zeigten 1992 bei der Bank Goldman Sachs, wie man Markowitz’ Rechnung mit eigenen Ansichten über die Zukunft mischt, ohne dass sie Portfolios liefert, die alles auf wenige Papiere setzen, und machten die Portfoliotheorie für Vermögensverwalter brauchbar, die das Geld anderer anlegen.¹²¹ Als Fama 2013 den Nobelpreis bekam, teilte er ihn mit Lars Peter Hansen und mit Robert Shiller, der seit 1981 argumentierte, dass die Kurse zu stark schwanken, um nur Informationen zu spiegeln; die Akademie ehrte die These und ihren Widerspruch zugleich (Abbildung 9).¹²²

Die Maschine, die handelt. Die größte Rendite der Epoche erzielte ein Mathematiker, der keine Theorie wollte. James Simons, Geometer und Codeknacker, gründete 1982 Renaissance Technologies und 1988 den Medallion Fund, der mit Statistikern, Physikern und Fachleuten für die Spracherkennung durch Computer Muster in Preisdaten suchte, ohne zu fragen, warum es sie gibt; der Fonds erzielte nach der Rekonstruktion des Journalisten Gregory Zuckerman von 1988 bis 2018 im Jahresmittel 66 Prozent vor und 39 Prozent nach Gebühren.¹²³ Quantitativer Handel ist der Handel nach Regeln, die aus Daten geschätzt und von Programmen ausgeführt werden, und Medallion war sein Beweis, dass der Markt nicht so effizient ist, wie Fama sagte, oder jedenfalls nicht für den, der schneller und genauer rechnet als alle anderen. Im Kleinen handelt ein Anlageautomat im Netz so: Soll ein Depot von 10.000 Euro zu 60 Prozent aus Aktien und zu 40 Prozent aus Anleihen bestehen und steigen die Aktien um 25 Prozent, machen sie 7.500 von 11.500 Euro aus, 65,2 Prozent; die Regel verkauft Aktien für 600 Euro, bis wieder 60 zu 40 erreicht ist, ohne dass ein Mensch entscheidet. Simons starb am 10. Mai 2024 in New York;¹²⁴ das Geheimnis seiner Signale, der Muster, die eine Kursbewegung ankündigen, ist nie veröffentlicht worden.

Geschwindigkeit und Absturz

Die Geschwindigkeit. Was Simons in Tagen tat, taten andere in Mikrosekunden, millionstel Sekunden. Der Hochfrequenzhandel, bei dem Programme Aufträge zum Kaufen und Verkaufen in Bruchteilen einer Sekunde erteilen und zurückziehen, machte in den 2000er Jahren an den amerikanischen Börsen einen großen Teil der gehandelten Menge aus, und am 6. Mai 2010 zeigte er, was er kann: Um 14:32 Uhr begann ein Investmentfonds, 75.000 Terminkontrakte auf den S&P 500, einen Index der 500 größten amerikanischen Unternehmen an der Börse, mit einem Programm zu verkaufen, das nur auf die Menge achtete, nicht auf Preis oder Zeit; der Dow Jones fiel um 998 Punkte, einzelne Aktien wurden für einen Cent und für 100.000 Dollar gehandelt, und nach 36 Minuten war der größte Teil des Verlusts wieder aufgeholt.¹²⁵ Wie der Hochfrequenzhandel verdient, zeigt eine einfache Rechnung: 0,1 Cent je Aktie ist für jemanden, der 20 Aktien kauft, nicht der Rede wert, bei 10 Millionen Aktien am Tag sind es 10.000 Euro. Der Bericht der Aufsichtsbehörden vom Herbst 2010 beschrieb eine Kette aus Programmen, die aufeinander reagierten, bis niemand mehr kaufte; im April 2015 wurde in London ein Händler verhaftet, der mit Scheinaufträgen, die er nie ausführen wollte, dazu beigetragen haben soll; er bekannte sich 2016 schuldig und wurde 2020 zu einem Jahr Hausarrest verurteilt.¹²⁶ Der Flash Crash, der Blitzabsturz, begann mit einem Menschen, der einem Programm einen großen Verkauf überließ; was danach geschah, taten Maschinen untereinander, und es war die erste Vorführung dessen, was 2026 die Zentralbanken beschäftigt: dass Programme, die dieselben Daten sehen, dasselbe tun.

Die Notbremse. Dass gleich gebaute Programme gemeinsam stürzen, hatte das Fach schon drei Jahre vor dem Flash Crash erlebt. In der Woche ab dem 6. August 2007 verloren quantitative Aktienfonds, die nach ähnlichen Kennzahlen Aktien kauften und andere leer verkauften, in wenigen Tagen so viel wie nie zuvor; Amir Khandani und Andrew Lo erklärten das mit dem raschen Verkauf eines oder mehrerer großer Portfolios, der die Kurse aller ähnlich gebauten Fonds drückte, und am 10. August erholten sich die Strategien kräftig.¹²⁷ Ein Leerverkauf ist der Verkauf einer geliehenen Aktie, die man später billiger zurückzukaufen hofft; wer zugleich kauft und leer verkauft, setzt nur auf den Abstand zwischen den Aktien, nicht auf den Markt. Leiht sich jemand 10 Aktien zu 50 Euro, verkauft sie für 500 Euro und kauft sie später zu 40 Euro zurück, um sie dem Verleiher zurückzugeben, verdient er 100 Euro; steigt die Aktie auf 80 Euro, verliert er 300 Euro, und nach oben gibt es keine Grenze. Die amerikanischen Börsen hatten 1988, nach dem Oktober 1987, marktweite Handelsunterbrechungen eingeführt, Pausen bei starken Kursstürzen; am 27. Oktober 1997 griffen sie zum ersten Mal und im März 2020 viermal binnen zehn Tagen.¹²⁸ Nach dem Flash Crash kamen in den USA ab April 2013 Grenzen für einzelne Aktien hinzu, und in der Europäischen Union muss seit dem 3. Januar 2018 jede Firma, die mit Algorithmen handelt, als Notfallmaßnahme alle ihre offenen Aufträge auf einen Schlag zurückziehen können.¹²⁹

Wie Preise entstehen: das Orderbuch

Das Orderbuch. Wie aus Aufträgen Preise werden, hatte das Fach lange nicht gefragt. Mark Garman gab dem Gebiet 1976 mit einem Aufsatz seinen Namen: Marktmikrostruktur, die Lehre davon, wie die Regeln und Einrichtungen des Handels die Preise formen.¹³⁰ Kostet dieselbe Aktie an einem Handelsplatz 50,10 Euro und an einem anderen 50,14 Euro, macht das bei 100 Stück 4 Euro aus; wohin ein Auftrag geht, ist eine Frage der Mikrostruktur. Nach einer Übersicht von 2013 lief schon damals mehr als die Hälfte der Finanzmärkte der Welt über ein Orderbuch, eine Liste aller Aufträge, die zu einem festen Preis kaufen oder verkaufen wollen, geordnet nach dem Preis und bei gleichem Preis nach der Zeit; trifft ein Auftrag auf einen passenden der anderen Seite, kommt ein Geschäft zustande.¹³¹ Will jemand 30 Aktien sofort verkaufen und stehen im Orderbuch Käufer für 20 Stück zu 49,90 Euro und dahinter für 10 Stück zu 49,85 Euro, bekommt er 20 · 49,90 + 10 · 49,85 = 1.496,50 Euro. Der niedrigste Preis, zu dem jemand verkaufen will, heißt Briefkurs, der höchste, zu dem jemand kaufen will, Geldkurs, und der Abstand zwischen beiden ist die Geld-Brief-Spanne. Zeigt eine Börsen-App „Kaufen 50,05 Euro“ und „Verkaufen 49,95 Euro“, kostet es 20 · 0,10 = 2 Euro, 20 Aktien zu kaufen und sofort wieder zu verkaufen, wie in einer Wechselstube, die Euro teurer verkauft, als sie sie ankauft. Harold Demsetz deutete sie 1968 als Preis der Sofortigkeit: Wer sofort handeln will, statt auf ein Gegenüber zu warten, zahlt sie an den Marktmacher, einen Händler, der ständig zugleich einen Kauf- und einen Verkaufspreis stellt.¹³² Ein Gebrauchtwagenhändler tut dasselbe: Er kauft ein Auto für 9.000 Euro an und verkauft es für 10.000 Euro, und die 1.000 Euro sind der Preis dafür, dass niemand auf einen privaten Käufer warten muss. Lawrence Glosten und Paul Milgrom zeigten 1985, dass die Spanne auch dann bleibt, wenn der Handel nichts kostet: Unter den Kunden des Marktmachers sind einige, die mehr wissen als er, an ihnen verliert er, und die Spanne holt diesen Verlust bei den anderen herein (Kasten unten).¹³³ Im selben Jahr beschrieb Albert Kyle, wie ein Händler mit Wissen seine Aufträge stückelt, damit der Kurs sein Wissen nicht zu schnell verrät, und wie der Kurs mit jedem Auftrag ein Stück weiterwandert, um so weiter, je größer der Auftrag ist.¹³⁴ Robert Almgren und Neil Chriss machten daraus 2000 eine Rechenaufgabe für jeden großen Anleger: Wer schnell verkauft, drückt den Kurs; wer langsam verkauft, trägt länger das Risiko, dass der Kurs sich ohnehin bewegt.¹³⁵ Was die Spanne kostet, zeigte die Umstellung der amerikanischen Börsen auf Cent. Bis 2000 wurden Aktien in Sechzehnteln eines Dollars notiert, 6,25 Cent; nach einer Anordnung der Börsenaufsicht SEC vom 8. Juni 2000 gingen die Börsen vom 28. August 2000 an schrittweise zu Cent über, vom 9. April 2001 an überall. Die tatsächlich gezahlten Spannen sanken danach an der Nasdaq um etwa die Hälfte und an der New Yorker Börse um etwa 28 Prozent.¹³⁶

LIBOR und Kryptowährungen

Der Zinssatz, der nicht war. Auch die Grundgröße des Fachs erwies sich als gemacht. Der LIBOR, der Londoner Interbankensatz, der Zins, zu dem sich Banken in London untereinander Geld leihen, an dem Kredite und Derivate über Hunderte Billionen Dollar hingen, wurde nicht aus Geschäften gebildet, sondern aus den täglichen Meldungen einer Handvoll Banken, was sie zu zahlen glaubten; am 27. Juni 2012 zahlte die Bank Barclays 290 Millionen Pfund Strafe, weil ihre Händler die Meldungen jahrelang zu ihrem Vorteil verschoben hatten, und andere Banken folgten.¹³⁷ Ein Referenzzins ist der Satz, auf den sich Verträge beziehen, etwa ein Kredit, der jedes Jahr zum LIBOR plus zwei Prozentpunkte verzinst wird, und die Mathematik des Zinses hatte ihn als gegeben genommen. Bei einem Kredit über 100.000 Euro zum Referenzzins von 3 Prozent plus 2 Prozentpunkte zahlt der Kreditnehmer 5.000 Euro im Jahr; ist der Referenzzins nur 0,01 Punkte zu hoch gemeldet, sind es 10 Euro zu viel, auf Hunderte Billionen Dollar gerechnet Milliarden. Die Aufseher ersetzten ihn durch Sätze aus wirklichen Geschäften: Der amerikanische Ausschuss wählte am 22. Juni 2017 den SOFR aus dem Markt für besicherte Übernachtkredite, Kredite für eine einzige Nacht gegen ein Pfand aus Staatsanleihen; Ende 2021 endeten die LIBOR-Sätze für Pfund, Euro, Franken und Yen, am 30. Juni 2023 die aus Meldungen gebildeten für den Dollar; ersatzweise errechnete Sätze liefen noch bis zum 30. September 2024.¹³⁸ Die Umstellung verlangte, Millionen Verträge und alle Zinsmodelle umzuschreiben, und sie erinnerte das Fach daran, dass seine Eingangsgrößen von Menschen gemacht sind.

Das Geld ohne Bank. Am 31. Oktober 2008, sechs Wochen nach dem Konkurs von Lehman Brothers, schickte jemand unter dem Namen Satoshi Nakamoto einen Aufsatz über ein elektronisches Geld, das ohne Bank auskommt, an eine Mailingliste über Kryptographie, die Lehre von der Verschlüsselung.¹³⁹ Bitcoin, die erste Kryptowährung, ein Geld, dessen Einheiten nur als Einträge in einem gemeinsamen, mit Verfahren der Kryptographie gesicherten Verzeichnis bestehen, ging am 3. Januar 2009 mit dem ersten Block in Betrieb; in ihm steht die Schlagzeile der Londoner Times vom selben Tag, der Schatzkanzler stehe vor einer zweiten Rettung der Banken. Die Menge ist auf 21 Millionen Einheiten begrenzt.¹⁴⁰ Kauft jemand in einer App für 50 Euro eine Kryptowährung, zahlt 1 Prozent Gebühr und fällt der Preis danach um 30 Prozent, sind noch 49,50 · 0,7 = 34,65 Euro übrig. Das Verzeichnis ist eine Blockchain, eine Kette von Blöcken, deren jeder die Geschäfte einer Zeitspanne und einen Fingerabdruck des vorigen enthält, so dass sich nichts Altes ändern lässt, ohne alles Spätere neu zu berechnen; wer den nächsten Block anhängen darf, entscheidet bei Bitcoin ein Wettrechnen, der Proof of Work. Man kann sich eine Blockchain wie ein Haushaltsbuch einer Wohngemeinschaft vorstellen, das jedes Mitglied in Kopie hat und dessen Seiten jeweils eine Prüfzahl der vorigen Seite tragen: Wer eine alte Seite fälscht, müsste alle späteren Seiten in allen Kopien ändern. Ethereum, seit dem 30. Juli 2015 in Betrieb, erlaubt es, Programme in der Kette ablaufen zu lassen, und stellte am 15. September 2022 auf ein Verfahren ohne Wettrechnen um, den Proof of Stake.¹⁴¹ Auf Ethereum ging am 2. November 2018 Uniswap in Betrieb, ein automatischer Marktmacher: ein Programm, das statt eines Orderbuchs einen Topf aus zwei Währungen hält und den Preis allein aus dem Verhältnis der beiden Mengen bildet, so dass ihr Produkt gleich bleibt, x · y = k; jeder Tausch kostete in den ersten beiden Versionen 0,3 Prozent Gebühr für die, die den Topf gefüllt haben; seit 2021 wählt jeder Topf seine Gebühr (Kasten unten).¹⁴² Die Kehrseite zeigte sich 2022. TerraUSD, ein Stablecoin, eine Kryptowährung, die einen festen Wert halten soll, meist einen Dollar, verlor im Mai seine Bindung; die Verluste beliefen sich nach Angaben der amerikanischen Anklage auf rund 40 Milliarden Dollar, und sein Gründer Do Kwon wurde am 11. Dezember 2025 zu 15 Jahren Haft verurteilt.¹⁴³ Wer 500 Euro in eine Münze steckt, die einen Euro halten soll, verliert bei einem Kurs von 0,97 Euro 15 Euro und bei 0,10 Euro 450 Euro. Am 11. November 2022 beantragte die Kryptobörse FTX Insolvenz; ihr Gründer Sam Bankman-Fried wurde am 2. November 2023 schuldig gesprochen und am 28. März 2024 zu 25 Jahren Haft verurteilt.¹⁴⁴ Die Europäische Union regelte den Markt mit der Verordnung MiCA vom 31. Mai 2023, deren Regeln für Stablecoins seit dem 30. Juni 2024 und im Übrigen seit dem 30. Dezember 2024 gelten, und die amerikanische SEC ließ am 10. Januar 2024 die ersten börsengehandelten Fonds in den USA zu, die Bitcoin selbst halten; in Kanada gab es sie seit Februar 2021.¹⁴⁵

Lernende Maschinen

Das Lernen. Die Daten wuchsen schneller als die Formeln. Dass Programme aus Beispielen Muster lernen statt aus Regeln, die ein Mensch ihnen vorgibt, maschinelles Lernen, war in den 2010er Jahren auch in der Finanzmathematik angekommen, zunächst dort, wo es viele Daten und wenig Theorie gab. Hält eine Banking-App nachts um drei Uhr eine Zahlung von 900 Euro im Ausland an, kann ein solches Programm dahinterstehen, das an Tausenden von Beispielen gelernt hat, wie Betrug aussieht, ohne dass ihm jemand eine Regel vorgeschrieben hat. Ein neuronales Netz ist ein solches Programm aus vielen einfachen, verbundenen Rechenschritten, deren Gewichte, die Zahlen, mit denen jeder Schritt seine Eingänge malnimmt, es beim Lernen so lange verstellt, bis es die Beispiele gut wiedergibt. Ein einzelner Rechenschritt bei einem Kreditantrag könnte etwa 0,002 · Monatseinkommen − 0,01 · Monatsrate rechnen; das Netz verstellt die Zahlen 0,002 und 0,01 und Tausende weitere so lange, bis es die alten Fälle gut trifft. Shihao Gu, Bryan Kelly und Dacheng Xiu verglichen 2020 ein Dutzend Verfahren an sechzig Jahren amerikanischer Aktiendaten mit fast tausend Kennzahlen, Zahlen über die Unternehmen und ihre Kurse, und fanden, dass neuronale Netze und Baumverfahren, die die Daten durch eine Folge von Ja-oder-Nein-Fragen in Gruppen teilen, Renditen besser vorhersagen als die Faktormodelle, die jede Kennzahl nur mit einer festen Zahl malnehmen und zusammenzählen. Der Grund sind vor allem Wechselwirkungen, Kennzahlen, die erst zusammen etwas bedeuten, und die wichtigsten Signale blieben dieselben: Momentum, Liquidität, also wie leicht sich eine Aktie handeln lässt, und Volatilität.¹⁴⁶ Marcos López de Prado beschrieb 2018 in einem Lehrbuch, warum die Verfahren aus anderen Fächern an der Börse scheitern, wenn man sie naiv anwendet, weil Finanzdaten wenige unabhängige Beobachtungen enthalten und jedes Muster, das einmal gefunden ist, von denen weggehandelt wird, die es finden.¹⁴⁷ Hans Bühler und Kollegen zeigten 2019, dass ein neuronales Netz die Absicherung einer Option direkt aus simulierten Pfaden lernen kann, aus Kursverläufen, die der Computer mit Zufallszahlen erzeugt, und zwar mit Handelskosten und Sprüngen, die die Formel nicht kennt: Deep Hedging ersetzt die Herleitung von 1973 durch Training, das Einstellen des Netzes an Beispielen, und es ist die erste Methode des Fachs, die eine Absicherung findet, ohne sie begründen zu können.¹⁴⁸ Muss ein Heizölhändler bei jeder Anpassung seines Lagers 2 Euro Gebühr zahlen, kostet tägliches Nachsichern an 250 Tagen 500 Euro im Jahr, wöchentliches 104 Euro; ein Netz, das mit diesen Kosten trainiert ist, lernt, wann sich ein Nachsichern lohnt.

Die Simulation. Am Rand begannen Experimente mit Quantenrechnern, Rechnern, die die Gesetze der Quantenphysik nutzen. Sie sollen den Erwartungswert einer Option schneller schätzen als eine Monte-Carlo-Simulation, benannt nach dem Spielkasino, die einen Erwartungswert ausrechnet, indem sie sehr viele zufällige Fälle erzeugt und ihren Durchschnitt nimmt: Für dieselbe Genauigkeit brauchen sie nur die Wurzel der Zahl der Fälle, tausend statt einer Million. Für die Bewertung von Optionen reichen sie bis heute nicht; 2025 meldete die Bank HSBC mit IBM einen ersten Versuch mit echten Handelsdaten bei Anleihen.¹⁴⁹ Die Monte-Carlo-Simulation selbst begegnet jedem, dem ein Sparrechner sagt, ein Ziel werde „mit 90 Prozent Wahrscheinlichkeit“ erreicht. Spart jemand 20 Jahre lang 200 Euro im Monat in einen Fonds, der im Mittel 6 Prozent im Jahr bei 15 Prozent Volatilität bringt, und lässt man den Computer 10.000 zufällige Verläufe erzeugen, stehen am Ende im Mittel rund 93.000 Euro im Depot, im mittleren Verlauf rund 83.500 Euro, und in rund 9 von 100 Verläufen weniger als die 48.000 Euro, die eingezahlt wurden.

Nachrechnen und üben

Selbst ausprobieren. Kenneth French stellt auf seiner Seite am Dartmouth College die Faktorrenditen seit 1926 kostenlos bereit, Monat für Monat. Wer die Renditen eines eigenen Fonds daneben legt, kann mit einer Regression prüfen, welche Faktoren der Fonds hält. Eine Regression sucht die Zahlen, mit denen man eine Größe am besten aus anderen zusammensetzt, wie die Gerade beim Beta in Abschnitt 4, nur mit mehreren Größen auf einmal; in der Tabellenkalkulation rechnet sie die Funktion RGP. Die drei Zahlen, die sie für Markt, Größe und Wert liefert, zeigen, wie stark der Fonds jeden Faktor hält, und der Rest, der Achsenabschnitt oder das Alpha, zeigt, ob er nach Abzug davon noch etwas kann. Empfiehlt eine Bank einen Fonds, der 1,5 Prozent Kosten im Jahr verlangt, und zeigt die Regression, dass er fast nur den Markt hält, mit einem Alpha nahe null vor Kosten, kauft man besser einen Indexfonds für 0,2 Prozent: Bringt der Markt 6 Prozent vor Kosten, werden aus 10.000 Euro in 20 Jahren 30.883 statt 24.117 Euro, rund 6.770 Euro mehr. Das Alpha selbst rechnet man so: Bringt ein Fonds 9 Prozent, der sichere Zins 2 und der Markt 7 Prozent, und hat der Fonds ein Beta von 1,2, wären 2 + 1,2 · 5 = 8 Prozent zu erwarten gewesen; sein Alpha ist 1 Prozentpunkt. Bei den meisten aktiven Fonds ist das Alpha nach Abzug der Gebühren negativ, und das ist die ganze Debatte zwischen aktivem Anlegen, bei dem jemand Aktien auswählt, und passivem, bei dem man einfach einen Index kauft, in einer Zahl.¹⁵⁰ Wer eine Kennzahl findet, die Renditen vorhersagt, sollte sie auf einem Zeitraum prüfen, den er beim Suchen nicht angesehen hat; das verlangt López de Prado, und viele Entdeckungen überleben es nicht; wie viele, ist unter Fachleuten umstritten.¹⁵¹

Der Engpass

2022 konnten Maschinen aus Preisen lernen, in Mikrosekunden handeln und Absicherungen finden, die keine Formel erklärt. Was sie nicht konnten, war lesen: Geschäftsberichte, Zentralbankreden, Nachrichten, die Hälfte dessen, woraus Preise entstehen, lag als Text vor; Programme zählten darin zwar schon Wörter, doch was ein Text bedeutete, werteten Menschen aus. Im Herbst 2022 lernten Maschinen lesen, und das Fach bekam ein Werkzeug, das nicht rechnet, sondern spricht, und das aus den Daten, die es liest, selbst zu einem Teilnehmer wird.

8. Sprachmodelle, Agenten und die Rückkopplung (seit 2023)

Sprachmodelle in der Finanzwelt

Das Modell liest. Am 30. März 2023 stellte die Finanzdatenfirma Bloomberg BloombergGPT vor, ein Sprachmodell, ein neuronales Netz, das die wahrscheinlichste Fortsetzung eines Textes erzeugt und dabei gelernt hat, was in Geschäftsberichten, Einschätzungen von Analysten und Nachrichten steht. Es hatte fünfzig Milliarden Parameter, so viele einstellbare Gewichte, und war trainiert auf 363 Milliarden Wortstücken, den Teilen von Wörtern, in die ein Sprachmodell Text zerlegt, aus vierzig Jahren Finanzdaten des Hauses und noch einmal so viel allgemeinem Text.¹⁵² Fragt jemand den Chatbot seiner Bank nach der Monatsrate für einen Kredit über 10.000 Euro, 48 Monate und 0,5 Prozent Zins im Monat, muss die Antwort 234,85 Euro lauten; weil ein Sprachmodell einen wahrscheinlichen Text erzeugt und nicht rechnet, lohnt es sich, die Zahl mit der Formel für die Annuität nachzuprüfen. Eine Woche später zeigten Alejandro Lopez-Lira und Yuehua Tang von der Universität Florida, dass ChatGPT, das Sprachmodell, das die Firma OpenAI Ende 2022 für alle zugänglich gemacht hatte, nach Schlagzeilen gefragt, ob sie gut oder schlecht für eine Aktie seien, Antworten gab, die mit den Renditen des nächsten Tages zusammenhingen, besser als die älteren Verfahren, die aus Texten die Stimmung über eine Aktie herauslesen; die Arbeit war ein Vorabdruck, noch ohne Prüfung durch Fachkollegen, und solche Signale verschwinden erfahrungsgemäß in dem Maße, in dem sie bekannt werden.¹⁵³ Im September 2023 hatte die Bank Morgan Stanley einen Assistenten auf der Grundlage des Sprachmodells GPT-4 an alle ihre Berater verteilt, der ihnen das Wissen des Hauses in Sekunden heraussucht.¹⁵⁴

Die Aufseher. Die internationalen Institutionen, die über die Stabilität der Finanzsysteme wachen, nahmen die neue Größe schnell auf. Der Internationale Währungsfonds, die Organisation fast aller Staaten der Welt, die über die Stabilität der Währungen und Finanzsysteme wacht, widmete im Oktober 2024 ein Kapitel seines Finanzstabilitätsberichts der künstlichen Intelligenz, kurz KI, also Programmen, die Aufgaben lösen, für die man bisher menschlichen Verstand brauchte, an den Märkten für Aktien und Anleihen; er erwartete effizientere, aber in Krisenzeiten schnellere und stärker schwankende Märkte.¹⁵⁵ Der Finanzstabilitätsrat, ein Gremium, das die G20, die Gruppe der zwanzig großen Volkswirtschaften, eingerichtet haben, nannte am 14. November 2024 vier Verwundbarkeiten: die Abhängigkeit von wenigen Anbietern von Modellen und Rechenleistung, die Gefahr gleichgerichteter Märkte, wenn viele dieselben Modelle nutzen, Risiken durch Angriffe auf Computer und das Modellrisiko aus Daten, die niemand mehr prüft.¹⁵⁶ Die Bank für Internationalen Zahlungsausgleich, die Bank der Zentralbanken in Basel, kurz BIZ, hatte im Juni 2024 die Zentralbanken aufgefordert, die Werkzeuge selbst zu nutzen, um ihnen gewachsen zu bleiben.¹⁵⁷ Alle drei Berichte sagten dasselbe in anderen Worten: Das neue Risiko ist nicht, dass die Modelle falsch sind, sondern dass sie gleich sind.

Kollusion und Agenten

Die Kollusion. Warum das gefährlich ist, zeigten drei Ökonomen in einer Simulation, einem im Computer nachgebauten Markt. Winston Wei Dou und Itay Goldstein von der Wharton School und Yan Ji aus Hongkong ließen 2023 Handelsprogramme gegeneinander handeln, die ihre Strategie durch Verstärkungslernen selbst finden, durch Versuch und Irrtum, bei dem belohnte Handlungen häufiger werden. Die Programme lernten ohne Absprache, ohne Kommunikation und ohne dass jemand es ihnen beigebracht hätte, zurückhaltend zu handeln und sich den Gewinn zu teilen, den ein Wettbewerb weggefressen hätte; die Preise wurden weniger informativ, und das Handeln wurde schwerer.¹⁵⁸ Algorithmische Kollusion, nach dem Algorithmus, der genauen Rechenvorschrift, die ein Programm ausführt, ist das Zusammenwirken lernender Programme zum Nachteil der anderen Marktteilnehmer, ohne dass ein Mensch es verabredet hat, und sie ist für das Kartellrecht, das Absprachen zwischen Wettbewerbern verbietet, so schwer zu fassen wie für die Markteffizienz: Es gibt keine Absprache, nur dieselbe Lernregel. Im Alltag sähe das so aus: Zwei Onlineshops verlangen für dieselbe Kaffeemaschine wochenlang beide 49 Euro, obwohl sich jeder mit 45 Euro Kunden vom anderen holen könnte, und keiner hat mit dem anderen gesprochen; ihre Preisprogramme haben nur gelernt, dass Unterbieten sich nicht lohnt.

Die Agenten. 2026 wurde aus dem lesenden Modell ein handelndes. Ein KI-Agent ist ein Programm aus Sprachmodell und Werkzeugen, das ein Ziel bekommt und die Schritte dorthin selbst wählt, recherchieren, rechnen, Aufträge erteilen. Ein einfacher Agent könnte etwa den Auftrag haben, Erspartes immer beim Tagesgeldkonto mit dem besten Zins zu halten: Er zieht 10.000 Euro von 1,5 auf 3 Prozent um und bringt so 150 Euro mehr im Jahr, prüft aber vielleicht nicht, ob der höhere Zins nur für drei Monate gilt. Robinhood, ein amerikanischer Wertpapierhändler im Internet, öffnete am 27. Mai 2026 seine Plattform für Agenten: Kunden konnten ein eigenes Konto anlegen, es mit Geld füllen und einem Programm ihrer Wahl über eine Schnittstelle, einen Zugang, über den Programme miteinander sprechen, den Handel darin überlassen, zunächst nur mit Aktien und mit der Möglichkeit, den Agenten jederzeit zu trennen; binnen vier Monaten hatten über 150.000 Kunden ein solches Konto eröffnet, und Ende September stellte die Firma einen eigenen Agenten vor, der rund um die Uhr Märkte untersucht, Strategien baut und handelt, auf Wunsch ohne Freigabe jedes einzelnen Auftrags.¹⁵⁹ Eine Erhebung der Universität Cambridge unter 628 Finanzhäusern fand im April 2026, dass 52 Prozent Agenten erprobten oder einsetzten und vier von fünf erwarteten, dass sie bis 2030 den Alltag bestimmen.¹⁶⁰ Was Thorp 1967 von Hand tat und Medallion 1988 mit Programmen, tat nun ein Programm für jeden, der es einschaltete, und es tat es mit derselben Lernregel wie das Programm des Nachbarn.

Notschalter und Recht

Der Schalter. Die Zentralbanken sahen darin ein altes Risiko in neuer Geschwindigkeit. Sarah Breeden, stellvertretende Gouverneurin der Bank of England, sagte am 30. Juni 2026 auf dem Forum der Europäischen Zentralbank in Sintra, die Regelwerke seien nicht für Agenten gebaut, die selbständig handeln, und ein Mensch, der jede Handlung eines Agenten freigibt, sei keine realistische Lösung; die Bank untersuche mit dem Innovationszentrum der BIZ und der Bundesbank in Simulationen, wie verschiedene Bauarten von Agenten zu Herdenverhalten führen, dem gleichgerichteten Handeln vieler auf dieselbe Nachricht, und frage, ob es marktweite Sicherungen brauche, nach dem Vorbild der Handelsunterbrechungen, der Pausen, die Börsen bei starken Kursstürzen einlegen, etwa einen Notschalter, der den Handel von Agenten anhält, wenn fehlerhafte Modelle gleichgerichtet die Stabilität bedrohen.¹⁶¹ Wie Herdenverhalten im Orderbuch aussieht: Bekommen 10.000 Nutzer einer App dieselbe Nachricht und verkaufen je 10 Aktien, sollen 100.000 Stück verkauft werden, während im Orderbuch vielleicht nur Käufer für 20.000 warten; der Kurs fällt, bis neue Käufer kommen. Die Wertpapieraufseher der Welt hatten am 25. Mai 2026 in ihrer Organisation IOSCO einen Leitfaden veröffentlicht, wie Prüfer den Einsatz von KI vom klassischen maschinellen Lernen bis zu Agenten beaufsichtigen sollen, unverbindlich; die amerikanischen Bankenaufseher hatten am 17. April 2026 ihre Richtlinie zum Modellrisiko neu gefasst und KI, die Texte erzeugt oder selbst handelt, ausdrücklich ausgenommen, um sie gesondert zu befragen; im Oktober 2026 erwog die Bank of England nach Angaben ungenannter Personen, eine KI-Störung zum Szenario ihres nächsten Stresstests für das ganze Finanzsystem zu machen, einer Rechnung, wie die Banken eine angenommene schwere Krise überstehen.¹⁶² Die Aufsicht war an dem Punkt, an dem Weatherstone 1989 gestanden hatte: Sie wollte eine Zahl für ein Risiko, für das es noch keine Methode gab.

Das Recht. Europa hatte die Linie früher gezogen und verschob sie. Die KI-Verordnung der Europäischen Union von 2024 stuft Systeme, die die Kreditwürdigkeit von Menschen bewerten oder Lebens- und Krankenversicherungen bepreisen, als hochriskant ein, mit Pflichten zu Daten, Dokumentation, Aufsicht durch Menschen und Prüfung; der Handel durch Programme steht nicht auf der Liste. Die Pflichten sollten am 2. August 2026 gelten; die Verordnung 2026/1744, der Digital Omnibus, am 24. Juli 2026 im Amtsblatt der Europäischen Union veröffentlicht, verschob sie auf den 2. Dezember 2027, während die Pflichten, KI-erzeugte Inhalte als solche kenntlich zu machen, im Grundsatz seit August 2026 gelten.¹⁶³ Beim Kredit, der ältesten Anwendung des Fachs, verlangt das Recht schon seit der Datenschutz-Grundverordnung von 2018, dass kein Programm allein über einen Menschen entscheidet, und der Europäische Gerichtshof zählte im Dezember 2023 schon den Wert einer Auskunftei dazu, wenn eine Bank sich maßgeblich auf ihn stützt; ab dem 20. November 2026 haben Kreditnehmer in der EU das Recht auf einen Menschen und eine Erklärung.¹⁶⁴ Der Handel, die schnellste Anwendung, bleibt den Notschaltern überlassen (Abbildung 10).

Die offene Frage

Die Geschichte dieses Textes hat ein Muster, und die Agenten machen es sichtbar. Jedes Werkzeug, das Risiko berechenbar machte, hat den Markt verändert, den es beschrieb: Die Portfolioversicherung erzeugte 1987 den Absturz, gegen den sie schützen sollte; die Arbitragemodelle von LTCM erzeugten 1998 die Korrelation, die sie nicht kannten; die Kopula erzeugte 2007 die Hypotheken, deren Ausfall sie verneinte; die Handelsprogramme erzeugten 2010 den Crash, den kein Mensch wollte. Reflexivität ist der Umstand, dass ein Modell des Marktes Teil des Marktes wird, sobald genug Teilnehmer danach handeln, und dass die Daten, aus denen die nächste Generation lernt, von der vorigen gemacht sind. Im Kleinen: Schätzt ein verbreitetes Bewertungsprogramm Wohnungen in einer Stadt auf 4.000 Euro je Quadratmeter und sagt 5 Prozent Anstieg im Jahr voraus, und bieten genug Käufer danach, tritt die Vorhersage ein, nach drei Jahren 4.000 · 1,05³ = 4.630,50 Euro, und die neuen Preise gehen als Daten in das nächste Training ein. Die Agenten von 2026 lernen schneller, handeln schneller und sind einander ähnlicher als alles davor, weil sie auf denselben wenigen Grundmodellen aufsetzen, den großen Sprachmodellen einer Handvoll Firmen. Ob das die Märkte effizienter macht, wie die Theorie von 1970 erwarten würde, oder gleichgerichteter, wie die Simulation von 2023 zeigt, ist die Frage, auf die die Finanzmathematik 2026 keine Formel hat.

Nachrechnen und üben

Selbst ausprobieren. Die Grenzen des lesenden Modells zeigt ein Versuch von fünf Minuten. Man bittet ein Sprachmodell, den Wert einer Kaufoption mit den Zahlen aus Abschnitt 5 zu berechnen, Kurs und Ausübungspreis 100, ein Jahr, zwei Prozent Zins, zwanzig Prozent Volatilität. Die Antwort ist oft richtig, 8,92, und manchmal sicher vorgetragen falsch; wer die Tabellenkalkulation daneben hat, sieht den Unterschied, und wer sie nicht hat, sieht ihn nicht. Dann bittet man dasselbe Modell, die Antwort zu begründen, und bekommt die Herleitung von 1973 fehlerfrei erzählt, ob die Zahl nun stimmt oder nicht. Das ist der Stand des Fachs: Die Maschine kennt die Geschichte, die hier erzählt wurde, besser als die meisten, die sie anwenden, und sie weiß nicht, wann sie sich verrechnet.

Der Engpass

Viertausend Jahre lang hat die Finanzmathematik Engpässe gelöst, die der Markt ihr stellte: die Zeit, die Ungewissheit, den Zufall, den Preis des Risikos, die Option, das Maß des Verlusts, die Menge der Daten. Der Engpass, den sie 2026 vor sich hat, hat sie selbst erzeugt. Die Modelle sind so gut und so verbreitet, dass der Markt ihnen folgt, und ein Markt, der seinen Modellen folgt, liefert Daten, die die Modelle bestätigen, bis zu dem Tag, an dem er es nicht tut. Die Mathematik, die das beschreibt, gibt es noch nicht; vielleicht ist sie der nächste Abschnitt dieser Geschichte, und vielleicht wird ein Agent ihn schreiben.

Die Kette in Kurzform

1. Bis 1600 lernen Babylon, Pisa und Antwerpen, mit Zins und Zinseszins zu rechnen, Zahlungen abzuzinsen und Bücher zu führen, gegen das Zinsverbot von Kirche und Islam (Hammurapi, Fibonacci 1202, Pacioli 1494, Stevin 1582); was nicht sicher kommt, hat keinen Preis.
2. Pascal, Huygens, Graunt, de Witt, Halley, die Bernoullis, de Moivre und die Equitable (1654–1800) geben dem Ungewissen Erwartungswert, Glockenkurve, Sterbetafel und Prämie; die Börse bleibt den Spekulanten.
3. Regnault, Bachelier, Einstein, Wiener, Kolmogorow, Cowles und Itô (1863–1950) beschreiben den Kurs als Zufallsweg und schaffen die Mathematik dafür, Fisher, Williams und Macaulay den Wert sicherer Zahlungen; niemand setzt die Teile zusammen.
4. Markowitz, Tobin, Sharpe, Modigliani–Miller, Samuelson, Merton, Mandelbrot, Fama und Thorp (1952–1972) machen aus Risiko eine Zahl mit Preis und aus dem Zufall eine Theorie; die Option bleibt ohne Formel.
5. CBOE, Black, Scholes, Merton, Cox–Ross–Rubinstein, Harrison–Kreps, Vašíček, die ersten Swaps und der Schwarze Montag (1973–1987) bringen Formel, Theorie und Industrie der Derivate und den ersten Crash, den ein Modell mitverursacht hat.
6. Basel, Value at Risk, LTCM, die Kopula, Lehman, der Expected Shortfall und die CVA (1988–2023) messen das Risiko der Summe und zeigen, dass das gefährlichste Risiko das Modell ist; Negativzins und Zinswende zeigen, dass auch der sichere Zins sich bewegt.
7. Faktoren, Medallion, Hochfrequenzhandel, Orderbuch, LIBOR, Kryptowährungen, maschinelles Lernen und Deep Hedging (1988–2022) ersetzen Formeln durch Daten und Menschen durch Programme; lesen können die Programme nicht.
8. BloombergGPT, Aufseher, algorithmische Kollusion, Agenten, Breeden und der Digital Omnibus (seit 2023): Die Maschine liest und handelt, und offen ist, was ein Markt tut, der seinen Modellen folgt.

Zeitleiste

Formelsammlung

Die wichtigsten Formeln des Beitrags mit einheitlichen Zeichen; Herleitungen, Beispiele und Aufgaben stehen in den Kästen „Zum Nachrechnen“ am Ende der Abschnitte.

Zeichen: $K_0$ Anfangskapital, $K_n$ Kapital nach $n$ Perioden, $r$ Zinssatz je Periode oder sicherer Zins als Dezimalzahl, $n$ Zahl der Perioden, Versuche oder Fälle, $t$ und $T$ Zeit in Jahren, $Z$ Zahlung (in der Gauß-Kopula die Lage der Wirtschaft), $R$ Rate, $B$ Barwert; $P(A)$ Wahrscheinlichkeit, $X$ Zufallsgröße, $E(X)$ Erwartungswert, $\operatorname{Var}(X)$ Varianz, $\sigma$ Standardabweichung oder Volatilität, $\rho$ Korrelation, $w$ Anteil, $\mu$ erwartete Rendite, $\beta$ Beta, $\Sigma$, das große griechische Sigma, die Summe über alle Fälle: $\sum x_i \cdot p_i$ heißt $x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + \dots$, mit $i$ als laufender Nummer; $S$ Aktienkurs, $K$ ohne Index Ausübungspreis, $C$ und $P$ ohne Klammer Preis einer Kauf- und einer Verkaufsoption, $N(x)$ die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zahl mit Erwartungswert 0 und Standardabweichung 1 kleiner als $x$ ist, $N^{-1}(p)$ umgekehrt die Zahl, unter der sie mit der Wahrscheinlichkeit $p$ liegt; $V$ Wert eines Portfolios, $z$ Schwelle der Normalverteilung, $\lambda$ Ausfallrate, $h$ Hebel; $\Delta$ vor einer Größe ihre Änderung, allein stehend das Delta einer Option. Weitere Zeichen erklären die Kästen der einzelnen Abschnitte.

1 Zins und Zeit:

• Einfacher Zins: $K_n = K_0 \cdot (1 + n \cdot r)$; Zinseszins: $K_n = K_0 \cdot (1 + r)^n$; stetig: $K_t = K_0 \cdot e^{rt}$; unterjährig mit $m$ Gutschriften im Jahr: $K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot n}$, aufs Jahr gerechnet $\left(1 + \frac{r}{m}\right)^m - 1$
• Barwert: $B = \dfrac{Z}{(1 + r)^n}$; Verdopplungszeit: $n = \dfrac{\ln 2}{\ln(1 + r)} \approx \dfrac{72}{\text{Zinssatz in Prozent}}$, linear interpoliert zwischen den vollen Perioden $j$ und $j + 1$: $n \approx j + \dfrac{2 \cdot K_0 - K_j}{K_{j+1} - K_j}$
• Rentenbarwert: $B = R \cdot \dfrac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}$; Rentenendwert: $K_n = R \cdot \dfrac{(1 + r)^n - 1}{r}$; vorschüssig jeweils mal $(1 + r)$; Annuität: $R = K_0 \cdot \dfrac{r}{1 - (1 + r)^{-n}}$; Sparrate für einen Endwert $K_n$: $R = K_n \cdot \dfrac{r}{(1 + r)^n - 1}$
• Murabaha: $\text{Verkaufspreis} = \text{Einkaufspreis} \cdot (1 + \text{Aufschlag})$
• Rechner zum Ausprobieren: Zinseszins, Barwert, Rente: Barwert und Endwert, Darlehen: Annuität und Tilgungsplan, Sparplan: Rate für ein Sparziel